Question

（18分）近代的材料生長(zhǎng)和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運(yùn)動(dòng)限制在半導(dǎo)體的一個(gè)平面內(nèi)（二維）的微結(jié)構(gòu)器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質(zhì)原子射散的影響，這種特點(diǎn)可望有新的應(yīng)用價(jià)值。圖l 所示為四端十字形。二維電子氣半導(dǎo)體，當(dāng)電流從l端進(jìn)人時(shí)，通過(guò)控制磁場(chǎng)的作用，可使電流從 2，3或4端流出。對(duì)下面摸擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導(dǎo)體中的流動(dòng)。在圖 2 中， a、b、c、d為四根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個(gè)寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和四個(gè)圓柱所包圍的空間（設(shè)為真空）存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面指向紙里。以B表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)以速度v₀沿與a、b都相切的方向由縫1射人磁場(chǎng)內(nèi)，設(shè)粒子與圓柱表面只發(fā)生一次碰撞，碰撞是彈性的，碰撞時(shí)間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用。試求B為何值時(shí)，該粒子能從縫2處且沿與b、c都相切的方向射出。

   

Answer 1

解析：

解法一高.考.資.源.網(wǎng)

在圖中紙面內(nèi)取Oxy坐標(biāo)（如圖），原點(diǎn)在狹縫l處，x軸過(guò)縫1和縫3。粒子從縫1進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛侖茲力作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道在原點(diǎn)與x軸相切，故其圓心必在y軸上．若以r表示此圓的半徑，則圓方程為

            x²+(y－r)²=r²                   （1）

根據(jù)題的要求和對(duì)稱性可知，粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)與d的柱面相碰于縫3、4間的圓弧中點(diǎn)處，碰撞處的坐標(biāo)為

             x=2R－Rsin45⁰                （2）

             y=R－R cos45⁰                （3）

由（l）、（2）、（3）式得   r=3R          （4）

由洛侖茲力和牛頓定律有        （5）

由（4）、（5）式得               （6）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 18 分。

（1）、（2）、（3）式各4分，（4）、（5）、（6）式各2分。

解法二

如圖所示，A為a、b兩圓圓心的連線與縫l的交點(diǎn)，F(xiàn)為c、d兩圓圓心的連線與縫3的交點(diǎn)．從1縫中射人的粒子在磁場(chǎng)作用下與圓柱d的表面發(fā)生彈性碰撞后，反彈進(jìn)人縫2，這個(gè)過(guò)程一定對(duì)連結(jié)b、d 兩圓圓心的直線OP對(duì)稱，故直線OP與d圓的交點(diǎn)C必是碰度點(diǎn)。由于粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)過(guò)A點(diǎn)，因此這個(gè)軌道的圓心必在過(guò)A點(diǎn)并垂直于AF的直線AE上；同時(shí)這個(gè)軌道經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，所以軌道的圓心也一定在AC的垂直平分線DE上。這樣AE與DE的交點(diǎn)E就是軌道的圓心，AE就是軌道的半徑r。過(guò)C點(diǎn)作AF的垂線與AF交于H點(diǎn)，則

              高.考.資.源.網(wǎng)

有                                         （1）

由圖可知

                                       （2）高.考.資.源.網(wǎng)

                                      （3）

                                    （4）

                                           （5）

由以上各式得  r=3R                                    （6）

由洛侖茲力和牛頓定律有                    （7）

得到                                          （8）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 18 分。

（1）式8分，（2）、（3）（4）、（5）式各1分，（6）、（7）、（8）式各1分。