Question

（2013?龍江縣三模）如圖，板長為L間距為d的平行金屬板水平放置，兩板間所加電壓大小為U，足夠大光屏PQ與板的右端相距為a，且與板垂直．一帶正電的粒子以初速度v₀沿兩板間的中心線射入，射出電場時(shí)粒子速度的偏轉(zhuǎn)角為37°．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)粒子的重力．

（1）求粒子的比荷q/m；
（2）若在兩板右側(cè)MN、光屏PQ間加如圖所示的勻強(qiáng)磁場，要使粒子不打在光屏上，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B的取值范圍；
（3）若在兩板右側(cè)MN、光屏PQ間僅加電場強(qiáng)度大小為E₀、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)電場．設(shè)初速度方向所在的直線與光屏交點(diǎn)為O點(diǎn)，取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x正方向，垂直紙面向外為z軸的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求粒子打在光屏上的坐標(biāo)（x，y，z）．

Answer 1

分析：（1）粒子在平行板中運(yùn)動(dòng)時(shí)，受電場力作用做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，由射出電場時(shí)的速度方向可求出粒子的比荷；
（2）粒子進(jìn)入磁場后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)半徑公式求出半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系，根據(jù)幾何關(guān)系求出要使粒子不打在光屏上粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑，從而求出磁場的最大磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）如果PQ空間僅加電場，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解進(jìn)行處理，粒子在原來的x、y軸方向由于不受力，粒子將保持原有的勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在z軸方向由于受到電場力作用，粒子做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從而根據(jù)題意求出粒子打在屏上時(shí)的位置坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)粒子射出電場時(shí)速度v的水平分量為v_x、豎直分量為v_y，
由于粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，故在水平方向分速度：
v_x=v₀，
水平方向的位移：
L=v_xt
所以粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

L

vx

=

L

v0

在y軸方向粒子做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度的大小為：
a=

F

m

=

qE

m

=

q U d

m

=

qU

md

所以vy=at=

qU

md

×

L

v0

=

qUL

mdv0

又如圖：


 有：tan370=

vy

v0

=

qUL

mdv0

由此可得：粒子的比荷

q

m

=

3d v 2 0

4UL

；
（2）設(shè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B時(shí)粒子不能打在光屏上，如圖：

由幾何知識(shí)有  Rsin37°+R≤a
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供和心力有：
 Bqv=

mv2

R

可得：R=

mv

qB

根據(jù)半徑關(guān)系有：

mv

qB

(sin37°+1)≤a
即：B≥

8mv

5qa

由（1）問可得，v=

5

4

v0，

m

q

=

4UL

3d v 2 0

所以可得：B≥

8UL

3adv0

；   
（3）粒子從兩板間以速度v射出后做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，沿x、y軸方向均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿z軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由題意知：
坐標(biāo) x=0

如圖速的反向延長線交中線于中點(diǎn)，故由幾何關(guān)系有：
y=(

1

2

+a)tan370=

3(L+2a)

8

粒子射出平行板后在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t=

a

v0

，
在z軸方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，即在z軸方向的坐標(biāo)：
z=

1

2

×

qE0

m

×t2=

3a2dE0

8UL

則粒子打在光屏上的坐標(biāo)為(0，

3(L+2a)

8

，

3a2dE0

8UL

)；
答：（1）粒子的比荷

q

m

=

3d v 2 0

4UL

；
（2）若在兩板右側(cè)MN、光屏PQ間加如圖所示的勻強(qiáng)磁場，要使粒子不打在光屏上，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B的取值范圍為B≥

8UL

3adv0

；
（3）若在兩板右側(cè)MN、光屏PQ間僅加電場強(qiáng)度大小為E₀、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)電場．設(shè)初速度方向所在的直線與光屏交點(diǎn)為O點(diǎn)，取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x正方向，垂直紙面向外為z軸的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，粒子打在光屏上的坐標(biāo)為(0，

3(L+2a)

8

，

3a2dE0

8UL

)．

點(diǎn)評(píng)：粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，解決此類問題的關(guān)鍵是作出臨界時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)半徑的范圍，從而求出末知量的取值范圍．關(guān)于在電場中粒子偏轉(zhuǎn)問題主要從運(yùn)動(dòng)的合成與分解入手求解．