Question

　　如圖所示，在天體運(yùn)動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星．它們在相互的萬有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動，它們有共同的圓心，且圓心在兩星之間的連線上．如果雙星間距為L，質(zhì)量分別為M₁和M₂，試計算：

　　(1)雙星的軌道半徑；

　　(2)雙星的運(yùn)行周期；

　　(3)雙星的線速度．

Answer 1

答案：
解析：

因為雙星受到同樣大小的引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動，所以具有周期、頻率和角速度均相同，而軌道半徑，線速度不同的特點． 　　(1)根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有F＝M1ω2r1＝M2ω2r2， 由此得到：　　　　  ＝， 所以，   ＝＝，＝＝， 　　　　    r1＝L，　　  r2＝L． 　　(2)同理，還有 　　　　  F＝G＝M1()2·r1＝M2()2·r2， 所以，　　　　   T＝2πL． 　　(3)由v＝得 　　　　　　    v1＝＝M2， 　　　　　　    v2＝＝M1．

提示：

在雙星問題中，雙星間的距離L并不是雙星的軌道半徑．在計算雙星間的萬有引力時，F(xiàn)引＝G．而計算向心力時，F(xiàn)向＝M1ω2r1＝M2ω2r2．不能將L與r1和r2混淆．另外，僅在兩物體之間相互作用下，兩物體所做的圓周運(yùn)動由相互作用的力提供向心力的模型，都可稱為雙星模型，它們都具有周期相同、角速度相同、軌道半徑與質(zhì)量成反比的特性．如輕桿兩端固定兩小球，繞桿上一點做圓周運(yùn)動的模型為雙星模型，同學(xué)們可類比理解其規(guī)律．