Question

7．如圖所示，質(zhì)量為M=0.1kg、半徑為R=1.0m的質(zhì)量分布均勻的圓環(huán)靜止在粗糙的水平桌面上，一質(zhì)量為m=0.2kg的光滑小球以水平速度v₀=6.0m/s通過(guò)環(huán)上的小孔正對(duì)環(huán)心射入環(huán)內(nèi)，與環(huán)發(fā)生第一次碰撞后到第二次碰撞前小球恰好不會(huì)從小孔中穿出．假設(shè)小球與環(huán)內(nèi)壁的碰撞為彈性碰撞，只考慮圓環(huán)與桌面之間的摩擦，且粗糙程度各處相同．求：
①第一次碰撞后圓環(huán)的速度；
②第二次碰撞前圓環(huán)的位移；
③圓環(huán)通過(guò)的總位移．

Answer 1

分析 ①小球與環(huán)內(nèi)壁發(fā)生彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合解答．
②小球恰好不會(huì)從小孔穿出，則第一次碰撞后，環(huán)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)t時(shí)間與小球速度大小相等，由動(dòng)量定理列式求出摩擦力．假設(shè)環(huán)在第二次碰撞前已停止，其位移由動(dòng)能定理求得．根據(jù)小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出小球的位移，即可判斷假設(shè)是否正確．
③多次碰撞后小球和環(huán)最終靜止，系統(tǒng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為摩擦生熱，由此列式求解圓環(huán)通過(guò)的總位移．

解答 解：①設(shè)第一次剛碰撞完，小球和環(huán)各自的速度大小分別為v₁和v₂，取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，有：
    mv₀=mv₁+Mv₂
    $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
解得：v₁=2m/s，v₂=8m/s．
②第一次碰撞后經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球恰好未從小孔中穿出，即二者共速，均為v₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律：
   $\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t$-v₁t=2R
對(duì)圓環(huán)，由動(dòng)量定理：
-ft=Mv₁-Mv₂；
聯(lián)立解得：f=0.9N
假設(shè)環(huán)在第二次碰撞前已停止，其位移由動(dòng)能定理得：
-fx₂=0-$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
解得 x₂=$\frac{32}{9}$m
此時(shí)小球的位移，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律：
  x₁=v₁•t′
設(shè)對(duì)圓環(huán)速度從v₂減至0的時(shí)間為t′，由動(dòng)量定理得：：
-ft′=0-Mv₂；
聯(lián)立得 x₁=v₁•$\frac{M{v}_{2}}{f}$=2×$\frac{0.1×8}{0.9}$=$\frac{16}{9}$m＜$\frac{32}{9}$m
假設(shè)成立，所以在第二次碰撞前環(huán)的位移為 x₂=$\frac{32}{9}$m
③多次碰撞后小球和環(huán)最終靜止，設(shè)圓滑受到的摩擦力為f，通過(guò)的總位移為x，系統(tǒng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為摩擦生熱：
    fx=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得，圓環(huán)通過(guò)的總位移為：x=4m．
答：
①第一次碰撞后圓環(huán)的速度是8.0m/s．
②第二次碰撞前圓環(huán)的位移是$\frac{32}{9}$m．
③圓環(huán)通過(guò)的總位移是4m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量定理即可正確解題．涉及時(shí)間時(shí)可優(yōu)先考慮動(dòng)量定理．涉及位移時(shí)可優(yōu)先考慮動(dòng)能定理．