Question

如圖所示，兩根相同的勁度系數(shù)為后的金屬輕彈簧用兩根等長的絕緣線懸掛在水平天花板上，彈簧的上端通過導(dǎo)線與阻值為R的電阻相連，彈簧的下端接一質(zhì)量為m、長度為L、電阻為r的金屬棒，金屬棒始終處于寬度為d的垂直紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中．開始時(shí)彈簧處于原長，金屬棒從靜止釋放，其下降高度為h時(shí)達(dá)到了最大速度．已知彈簧始終在彈性限度內(nèi)，且當(dāng)彈簧的形變量為x時(shí)，它的彈性勢能為

1

2

kx²，不計(jì)空氣阻力和其他電阻，求：
（1）金屬棒的最大速度；
（2）此過程中R消耗的電能．

Answer 1

分析：（1）金屬棒速度最大時(shí)，彈簧的彈力、安培力和重力三力平衡，推導(dǎo)出安培力，由平衡條件列式求最大速度．
（2）此過程中，金屬棒的重力勢能轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能、彈簧的彈性勢能和電路中電能，根據(jù)能量守恒定律和電路的串聯(lián)特點(diǎn)求電能．

解答：解：（1）金屬棒速度最大時(shí)，受到重力、彈簧的彈力和安培力，三力平衡．則有
    mg=F_安+2kh  ①
安培力F_安=BIL，I=

BLvm

R+r

，則得F_安=

B2L2vm

R+r

  ②
由①②得：mg=

B2L2vm

R+r

+2kh  ③
解得：最大速度v_m=

(mg-2kh)(R+r)

B2L2

 ④
（2）設(shè)此過程中電路中產(chǎn)生的總電能為Q，則根據(jù)能量守恒得
   mgh=2×

1

2

kh2+

1

2

m

v

2 m

+Q  ⑤
解得Q=mgh-kh²-

m(mg-2kh)2(R+r)2

2B4L4

電阻R與金屬棒r串聯(lián)，電流相等，則R消耗的電能Q_R=

R

R+r

Q=

R

R+r

[mgh-kh²-

m(mg-2kh)2(R+r)2

2B4L4

]
答：
（1）金屬棒的最大速度為

(mg-2kh)(R+r)

B2L2

．
（2）此過程中R消耗的電能是

R

R+r

[mgh-kh²-

m(mg-2kh)2(R+r)2

2B4L4

]．

點(diǎn)評：本題計(jì)算安培力、分析能量如何轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵的兩個(gè)關(guān)鍵，還要有基本的學(xué)習(xí)能力，知道彈簧的彈性勢能為

1

2

kx²．