Question

6．如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN，PQ平行放置，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=37°角，間距L=0.5m，導(dǎo)軌N，Q兩端接有阻值R=4Ω的電阻，整個(gè)裝置放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=2.0T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌平面向上，質(zhì)量m=0.2kg，電阻r=1Ω的金屬棒cd在距離導(dǎo)軌N，Q端s=2m處垂直導(dǎo)軌放置，不計(jì)金屬導(dǎo)軌的電阻，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若導(dǎo)軌光滑，金屬棒由靜止釋放，求金屬棒最大速度v及此時(shí)電阻R上的功率P；
（2）若金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，磁感應(yīng)強(qiáng)度從B₀均勻增大到2B₀的過程中，金屬棒始終能保持靜止，求磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率$\frac{△B}{△t}$的最大值；
（3）若導(dǎo)軌光滑，金屬棒沿軌道向下做初速度為0，加速度a=gsinθ的勻加速運(yùn)動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B_t隨時(shí)間t變化的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）金屬棒速度最大時(shí)，加速度為0，金屬棒受力平衡，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律即可求解最大速度，由功率公式求解R上的功率；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻變化均勻變化，導(dǎo)體棒靜止，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律知，電動(dòng)勢(shì)和電流不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率最大時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，感應(yīng)電流最大，金屬棒受到的安培力最大，此時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值且沿導(dǎo)軌向下，根據(jù)金屬棒的受力平衡方程和法拉第電磁感應(yīng)定律即可求解$\frac{△B}{△t}$的最大值；
（3）根據(jù)導(dǎo)體棒的加速度a=gsinθ，知金屬棒的合力等于重力沿斜面向下的分力，安培力為0，回路無感應(yīng)電流，磁通量不變，根據(jù)初末狀態(tài)的磁通量相等即可求解磁感應(yīng)強(qiáng)度Bt隨時(shí)間t變化的表達(dá)式；

解答 解：（1）金屬棒速度最大時(shí)，有
$mgsinθ={B}_{0}^{\;}IL$
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$E={B}_{0}^{\;}Lv$
由閉合電路歐姆定律：E=I（R+r）
R上的功率：$P={I}_{\;}^{2}R$
代入數(shù)據(jù)解得：v=6m/s，P=5.76W
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增大，金屬棒始終靜止，即電路中的電流始終不變，且電流受到安培力的方向沿軌道平面向上；當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為${B}_{0}^{\;}$時(shí)，安培力最小，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為$2{B}_{0}^{\;}$時(shí)，安培力最大．因?yàn)棣蘭gcosθ＞mgsinθ，滿足磁感應(yīng)強(qiáng)度為2${B}_{0}^{\;}$時(shí)，金屬棒靜止，整個(gè)過程中都能靜止，當(dāng)金屬棒受到的摩擦力方向沿軌道平面向下達(dá)到最大值時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率最大．
${E}_{1}^{\;}=\frac{△B}{△t}•Ls$
${E}_{1}^{\;}={I}_{1}^{\;}（R+r）$
根據(jù)受力平衡，有
$2{B}_{0}^{\;}{I}_{1}^{\;}L=mgsinθ+μmgcosθ$
代入數(shù)據(jù)解得$\frac{△B}{△t}=6.2T/s$，即為變化率的最大值
（3）金屬棒沿軌道向下做初速度為0，加速度a=gsinθ的勻加速運(yùn)動(dòng)，即受到安培力為0，也就是電路中的感應(yīng)電流為0，磁通量不發(fā)生變化．
${Φ}_{0}^{\;}={B}_{0}^{\;}Ls$
${Φ}_{t}^{\;}={B}_{t}^{\;}（s+{s}_{t}^{\;}）$
位移：$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得${B}_{t}^{\;}=\frac{4}{3{t}_{\;}^{2}+2}$
答：（1）若導(dǎo)軌光滑，金屬棒由靜止釋放，金屬棒最大速度v為6m/s，此時(shí)電阻R上的功率P為5.76W；
（2）若金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，磁感應(yīng)強(qiáng)度從B0均勻增大到2B0的過程中，金屬棒始終能保持靜止，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率$\frac{△B}{△t}$的最大值為6.2T/s；
（3）若導(dǎo)軌光滑，金屬棒沿軌道向下做初速度為0，加速度a=gsinθ的勻加速運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度Bt隨時(shí)間t變化的表達(dá)式${B}_{t}^{\;}=\frac{4}{3{t}_{\;}^{2}+2}$

點(diǎn)評(píng) 本題是電路知識(shí)、電磁感應(yīng)和力學(xué)知識(shí)的綜合，分析和計(jì)算安培力是個(gè)解題的關(guān)鍵，根據(jù)安培力與速度的關(guān)系，能正確分析棒的運(yùn)動(dòng)過程，是應(yīng)該培養(yǎng)的基本能力．