Question

12．如圖所示，被長為L的細繩系著的小球，能使O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，O點離地面的豎直高度為h=3L，如果繩受到的拉力等于小球所受重力的5倍時，就會斷裂，那么當小球運動到最低點的速度多大時，繩剛好斷裂，小球飛出后落地點距O點的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球運動到最低點時繩恰好斷裂時，繩的拉力等于小球重力的5倍．重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度．
（2）繩斷后小球做平拋運動，此時小球離地高度為2L，豎直方向做自由落體運動，由高度求出時間，小球水平方向做勻速直線運動，由初速度和時間求出小球飛出后落地點距O點的水平距離．

解答 解：當運動到最低點時，據(jù)牛頓第二定律得
  $T-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$
當繩的拉力達到5mg時繩斷裂，即T=5mg則 
解得速度v=$2\sqrt{gL}$
繩斷后小球做平拋運動
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又H=h-L得   t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$
小球飛出后落地點距O點的水平距離$x=vt=2\sqrt{gL}•\sqrt{\frac{4L}{g}}=4L$
答：當小球運動到最低點的速度為$2\sqrt{gL}$時，繩剛好斷裂，小球飛出后落地點距O點的水平距離為4L．

點評 本題是牛頓第二定律、向心力和平拋運動的綜合，抓住繩子剛斷時的臨界條件是：繩子拉力達到最大值．