Question

3．兒童智力拼裝玩具“云霄飛車”的部分軌道簡(jiǎn)化為如圖模型：光滑水平軌道MN與半徑為R的豎直光滑圓弧軌道相切于N點(diǎn)，質(zhì)量為m的小球A靜止于P點(diǎn)，小球半徑遠(yuǎn)小于R．與A相同的小球B以速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，A、B碰后粘連在一起．求當(dāng)v₀的大小在什么范圍時(shí)，兩小球在圓弧軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離圓弧軌道？已知重力加速度為g．

Answer 1

分析 若不能經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)又不會(huì)脫離圓弧軌道，A、B最高只能運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的地方，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出A球碰后的速度，由動(dòng)量守恒定律求出B的初速度；
若經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求出A球在最高點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出A球碰后的速度，由動(dòng)量守恒定律求出B的初速度．

解答 解：設(shè)A、B碰撞后的速度為v₁，恰好運(yùn)動(dòng)到圓弧最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₂
對(duì)A、B，碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=2m•v₁
欲使A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓弧軌道，有兩種可能：
（1）當(dāng)v₀較小時(shí)，A、B最高只能運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的地方
對(duì)A、B，從碰后到與圓心等高的地方，由動(dòng)能定理有：$-2mgR=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立得v₀=$2\sqrt{2gR}$
（2）當(dāng)v₀較大時(shí)，A、B能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．討論A、B恰好做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，對(duì)A、B，從碰后運(yùn)動(dòng)到圓周最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理：
$-2mg•2R=\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：$2mg=2m•\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：v₀=$2\sqrt{5gR}$
綜上所述，當(dāng)${v}_{0}≤2\sqrt{2gR}$或${v}_{0}≥2\sqrt{5gR}$時(shí)，兩小球在圓弧軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離圓弧軌道．   
答：當(dāng)${v}_{0}≤2\sqrt{2gR}$或${v}_{0}≥2\sqrt{5gR}$時(shí)，兩小球在圓弧軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離圓弧軌道．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，綜合性較強(qiáng)，需在平時(shí)的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)訓(xùn)練，同時(shí)要注意等于運(yùn)動(dòng)的過(guò)程的分析．