Question

（2007?徐州三模）如圖，在空間中有一坐標(biāo)系xOy，其第一象限內(nèi)充滿著兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和II，直線OP是它們的邊界，區(qū)域I中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域II中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，方向垂直紙面向內(nèi)，邊界上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（4L，3L）．一質(zhì)量為m電荷量為q的帶正粒子從P點(diǎn)平行于y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域I，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，粒子恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為多少？
（2）粒子的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題：粒子從P進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，必定返回磁場(chǎng)，才能經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，畫(huà)出軌跡．所以粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中做順時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，然后從O點(diǎn)射出，這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間最短．根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出軌跡半徑和周期．根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度，即可由t=

θ

2π

求出時(shí)間；
（2）粒子的速度大小滿足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)，然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．這樣粒子經(jīng)過(guò)n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過(guò)O點(diǎn)，每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移S=

OP

n

（n=1，2，3，…）．根據(jù)S與兩個(gè)半徑的關(guān)系，求出半徑，即可求解速度．

解答：解：（1）設(shè)粒子的入射速度為v，用R₁，R₂，T₁，T₂分別表示粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期．則
  qvB=m

v2

R1

  qv2B=m

v2

R2

 周期分別為 T1=

2πR1

v

=

2πm

qB

，T2=

2πR2

v

=

πm

qB

粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中做順時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，然后從O點(diǎn)射出，這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間最短．
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．tanα=

3L

4L

=0.75
得α=37°，α+β=90°
粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1=

2β

360°

?T1，t2=

2β

360°

?T2
粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間至少為t=n（t₁+t₂ ） （n=1，2，3，…）
由以上各式解得t=n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小滿足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)，然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．這樣粒子經(jīng)過(guò)n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過(guò)O點(diǎn)，每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移為S=

OP

n

=

(4L)2+(3L)2

n

=

5L

n

（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)的位移為S1=

R1

R1+R2

S=

2

3

S
由圖中幾何關(guān)系可知

S1 2

R1

=cosα
由以上各式解得粒子的速度大小為v=

25qBL

12nm

（n=1、2，3，…）  
答：
（1）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小是

25qBL

12nm

，（n=1、2，3，…）

點(diǎn)評(píng)：本題在復(fù)合場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)的類型，關(guān)鍵要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析粒子的規(guī)律，得到粒子在一個(gè)周期內(nèi)位移的通項(xiàng)，綜合性較強(qiáng)，難度很大．