Question

11．如圖所示，水平地面和半徑R=0.5m的半圓軌道面PTQ均光滑，質(zhì)量M=1kg、長(zhǎng)L=4m的小車(chē)放在地面上，右端點(diǎn)與墻壁的距離為s=3m，小車(chē)上表面與半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平．現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v₀=6m/s的水平初速度滑上小車(chē)左端，帶動(dòng)小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)，小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上．已知滑塊與小車(chē)上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)滑塊的速率；
（2）求滑塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）若圓軌道的半徑可變但最低點(diǎn)P不變，為使滑塊在圓軌道內(nèi)滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離軌道，求半圓軌道半徑的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)小車(chē)與墻壁碰撞前有共同速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出此過(guò)程中滑塊與小車(chē)的相對(duì)位移，判斷小車(chē)與墻壁碰撞前滑塊與小車(chē)的速度是否相同，并求出小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)的速度；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解
（3）若滑塊恰能滑過(guò)圓的最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出軌道半徑；若滑塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑，即能得到半徑的條件．

解答 解：（1）滑塊滑上小車(chē)后，小車(chē)將做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滑塊將做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)滑塊加速度為a₁，小車(chē)加速度為a₂，由牛頓第二定律得：
對(duì)滑塊有：-μmg=ma₁
對(duì)小車(chē)有：μmg=Ma₂
當(dāng)滑塊相對(duì)小車(chē)靜止時(shí)，兩者速度相等，設(shè)小車(chē)與滑塊經(jīng)歷時(shí)間t后速度相等，則有：
v₀+a₁t=a₂t
滑塊的位移為：
s₁=v₀t+$\frac{1}{2}$a₁t²
小車(chē)的位移為：s₂=$\frac{1}{2}$a₂t²
代入數(shù)據(jù)得△s=s₁-s₂=3 m＜L
且s₂＜s，說(shuō)明小車(chē)與墻壁碰撞前滑塊與小車(chē)已具有共同速度，故小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)的速率為：
v₁=a₂t=4 m/s
（2）設(shè)滑塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度為v_P，由動(dòng)能定理知：
-μmg（L-△s）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$   
F_N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律有滑塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N′=F_N=68 N，方向豎直向下
（3）若滑塊恰能滑過(guò)圓的最高點(diǎn)，設(shè)滑至最高點(diǎn)的速率為v_Q，臨界條件為：mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{max}}$
-mg•2R_max=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$     
代入數(shù)據(jù)得：R_max=0.24 m
若滑塊恰好滑至1/4圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)速度為零，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，此時(shí)有：
-mgR_min=0-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$        
代入數(shù)據(jù)解得：R_min=0.6 m
所以，若滑塊在圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離圓軌道，則半圓軌道的半徑必須滿足R≤0.24 m或R≥0.60 m
答：（1）小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)滑塊的速率為4m/s；
（2）滑塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為68N；
（3）若圓軌道的半徑可變但最低點(diǎn)P不變，為使滑塊在圓軌道內(nèi)滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離軌道，則半圓軌道的半徑必須滿足R≤0.24 m或R≥0.60 m．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)計(jì)算分析小車(chē)與墻壁碰撞前滑塊與小車(chē)的速度是否相同是難點(diǎn)．第2題容易只考慮滑塊通過(guò)最高點(diǎn)的情況，而遺漏滑塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)停止的情況，要培養(yǎng)自己分析隱含的臨界狀態(tài)的能力．