Question

13．如圖，內(nèi)圓半徑為r、外圓半徑為3r的兩個圓形區(qū)域之間有垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場．左側(cè)的平行板電容器兩板間電壓為U，靠近M板處靜止釋放質(zhì)量為m、電量為q的正離子，經(jīng)過電場加速后從N板小孔射出，并沿圓形直徑方向射入磁場，不計離子的重力，忽略平行板外的電場．求：
（1）離子從N板小孔射出時的速率；
（2）離子在磁場中做圓周運動的周期；
（3）要使離子不進入小圓內(nèi)部區(qū)域，磁感應強度B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）離子在電場中加速，由動能定理可以求出離子的速率．
（2）由牛頓第二定律求出離子軌道半徑，然后求出離子的周期．
（3）由幾何知識求出離子軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出離子的速度，再由動能定理求出電壓．

解答 解：（1）設離子射入勻強磁場時的速率為v，由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）設離子在磁場中做圓周運動的半徑為R，離子所受洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可可得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，周期：T=$\frac{2πr}{v}$，
解得：T=$\frac{2πm}{qB}$；
（3）若離子恰好不進入小圓，設離子與小圓相切時軌道半徑為R₀，
此時軌跡如圖所示，幾何關(guān)系得：R²+（3r）²=（R+r）²，
解得：R=4r，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：B=$\frac{1}{4r}\sqrt{\frac{mU}{q}}$；
所以要使離子不進入小圓區(qū)域，磁感應強度的取值范圍為B≥$\frac{1}{4r}\sqrt{\frac{mU}{q}}$；
答：
（1）離子從N板小孔射出時的速率為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）離子在磁場中做圓周運動的周期為$\frac{2πm}{qB}$；
（3）要使離子不進入小圓區(qū)域，磁感應強度的取值范圍是：B≥$\frac{1}{4r}\sqrt{\frac{mU}{q}}$．

點評 本題考查了離子在電場與磁場中的運動，分析清楚離子運動過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應用動能定理、牛頓第二定律即可正確解題，解題時要注意幾何知識的應用．