Question

10．如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k=400N/m的輕質(zhì)彈簧一端固定在固定擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m=0.5kg的物體A，一輕細(xì)繩通過定滑輪，一端系在物體A上，另一端有一細(xì)繩套，細(xì)繩與斜面平行，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)在細(xì)繩套上輕輕掛上一個(gè)質(zhì)量也為m的物體B，A將在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．（g取10m/s²）試求：
（1）未掛物體B時(shí)，當(dāng)A物體靜止時(shí)彈簧的形變量．
（2）物體A的最大速度值．
（3）細(xì)繩對(duì)物體B的拉力的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物體A受力分析，根據(jù)平衡條件列式求解彈力，根據(jù)胡克定律列式求解彈簧的壓縮量；
（2）當(dāng)物體A受力平衡時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件求解行變量；然后結(jié)合系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律列式求解最大速度；
（3）當(dāng)A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，物體B到達(dá)最低點(diǎn)，加速度向上且最大，超重，故拉力最大；當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，物體B到達(dá)最高點(diǎn)，加速度向下且最大，失重，故細(xì)線的拉力最��；根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）未掛物體B時(shí)，設(shè)彈簧壓縮量為x₁，對(duì)于物體A由平衡條件有：
kx₁-mgsin30°=0     
解得：
${x}_{1}=\frac{mg}{2k}$=$\frac{0.5×10}{2×400}$=0.625cm             ①
（2）掛B后A沿斜面向上做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A加速度為0時(shí)，A速度最大，設(shè)此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x₂，對(duì)于A由平衡條件有：
T-kx₂-mgsin30°=0       ②
當(dāng)A加速度為0時(shí)，B加速度也為0，對(duì)于B由平衡條件：
T-mg=0      ③
由②③解得：
${x}_{2}=\frac{mg}{2k}$
因x₁與x₂相等，故在此過程中彈簧彈性勢(shì)能改變量：
△E=0                      ④
設(shè)最大速度為v，對(duì)于A、B及彈簧組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒得：
mg（x₁+x₂）-mg（x₁+x₂）sin30°=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$      ⑤
將x₁、x₂代入⑤得：
v=$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{2k}}$=$\sqrt{\frac{0.5×1{0}^{2}}{2×400}}$=0.25m/s
（3）A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為x₁+x₂，A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量：
x=x₁+2x₂
A在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律：
mgsin30°+kx-T_max=ma
B在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律：
T_max-mg=ma
解得：
a=5m/s²
T_max=7.5N
B在最高點(diǎn)時(shí)拉力最小，此時(shí)：
mg-T_min=ma
解得：
T_min=2.5N
答：（1）未掛物體B時(shí)，當(dāng)A物體靜止時(shí)彈簧的形變量為0.625cm．
（2）物體A的最大速度值為0.25m/s．
（3）細(xì)繩對(duì)物體B的拉力的最大值為7.5N，最小值為2.5N．

點(diǎn)評(píng) 本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)物體的受力分析判斷運(yùn)動(dòng)情況，知道當(dāng)A加速度為0時(shí)，A速度最大，此時(shí)AB受力都平衡，運(yùn)動(dòng)過程中A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．