Question

【題目】某種粒子加速器的設(shè)計(jì)方案如圖19所示，M、N為兩塊垂直于紙面旋轉(zhuǎn)放置的圓形正對平行金屬板，兩金屬板中心均有小孔（孔的直徑大小可忽略不計(jì)），板間距離為h。兩板間接一直流電源，每當(dāng)粒子進(jìn)入M板的小孔時(shí)，控制兩板的電勢差為U，粒子得到加速，當(dāng)粒子離開N板時(shí)，兩板的電勢差立刻變?yōu)榱�。兩金屬板外部存在著上、下兩個(gè)范圍足夠大且有理想平面邊界的勻強(qiáng)磁場，上方磁場的下邊界cd與金屬板M在同一水平面上，下方磁場的上邊界ef與金屬板N在同一水平面上，兩磁場平行邊界間的距離也為h，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在兩平行金屬板右側(cè)形成與金屬板間距離一樣為h的無電場、無磁場的狹縫區(qū)域。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M板小孔處無初速度釋放，粒子在MN板間被加速，粒子離開N板后進(jìn)入下方磁場中運(yùn)動(dòng)。若空氣阻力、粒子所受的重力以及粒子在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的電磁輻射均可忽略不計(jì)，不考慮相對論效應(yīng)、兩金屬板間電場的邊緣效應(yīng)以及電場變化對于外部磁場和粒子運(yùn)動(dòng)的影響。

（1）為使帶電粒子經(jīng)過電場加速后不打到金屬板上，請說明圓形金屬板的半徑R應(yīng)滿足什么條件；

（2）在ef邊界上的P點(diǎn)放置一個(gè)目標(biāo)靶，P點(diǎn)到N板小孔O的距離為s時(shí)，粒子恰好可以擊中目標(biāo)靶。對于擊中目標(biāo)靶的粒子，求：

①其進(jìn)入電場的次數(shù)n；

②其在電場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間與在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間之比。

Answer 1

【答案】（1）R<；（2）①；②。

【解析】（1）設(shè)粒子第一次經(jīng)過電場加速后的速度為v1，

對于這個(gè)加速過程，根據(jù)動(dòng)能定理有：，解得；

粒子進(jìn)入磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1，

根據(jù)洛倫茲力和牛頓第二定律有：，

得

為使粒子不打到金屬板上，應(yīng)使金屬板的半徑R<2r1，即R<

（2）①設(shè)到達(dá)ef邊界上P點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)速度為vn，根據(jù)幾何關(guān)系可知，其在磁場中運(yùn)動(dòng)的最后一周的軌道半徑rn=s/2，

根據(jù)洛倫茲力公式和牛頓第二定律有 ，

解得

設(shè)粒子在電場中被加速n次，對于這個(gè)加速過程根據(jù)動(dòng)能定理有

解得：。

②設(shè)粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有：，

解得

因在磁場中運(yùn)動(dòng)洛倫茲力不改變粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小，故粒子在電場中的間斷加速運(yùn)動(dòng)可等效成一個(gè)連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

設(shè)總的加速時(shí)間為t1，根據(jù)vn=at1

可得

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期 保持不變

對于擊中目標(biāo)靶的粒子，其在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間

t2= 所以