Question

3．如圖所示，相距為d的平行金屬板M、N間存在勻強電場和垂直紙面向里、磁感應強度為B₀的勻強磁場；在xOy直角坐標系平面內(nèi)，第一象限有沿y軸負方向場強為E的勻強電場，第四象限有垂直坐標軸向外的半圓形勻強磁場ODC．一質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子（不計重力）以初速度v₀沿平行于金屬板方向射入兩板間并做勻速直線運動，從P點垂直y軸進入第一象限，經(jīng)過x軸上的A點射出電場磁場．已知離子過A點時的速度方向與x軸成45°角，且A為半圓形磁場的圓心．求：
（1）金屬板M、N間的電壓U；
（2）離子運動到A點時的速度v的大小和由P點運動到A點所需要的時間t；
（3）試討論離子不從半圓形勻強磁場的圓弧ODC射出的磁感應強度B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由離子做勻速直線運動，則有電場力等于洛倫茲力，從而根據(jù)U=Ed，可確定金屬板M、N間的電壓U；
（2）離子在第一象限做類平拋運動，由出射角度可得到入射速度與出射速度的關(guān)系；將類平拋運動分解x、y軸兩方向，再由牛頓第二定律與運動學公式可算出離子運動到A點時速度V的大小和由P點運動到A點所需時間t；
（3）求出磁場的半徑，根據(jù)題意求出離子在磁場中做圓周運動的臨界半徑，然后應用牛頓第二定律求出磁場的臨界磁感應強度，然后確定其范圍．

解答 解：（1）設平行金屬板M、N間勻強電場的場強為E₀，則有：U=E₀d，
因為離子在金屬板方向射入兩板間，并做勻速直線運動，由平衡條件得：
qE₀=qv₀B₀，解得，金屬板M、N間的電壓：U=B₀v₀d；
（2）離子在第一象限內(nèi)做平拋運動，
離子經(jīng)過A點時的速度大小：v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v₀，
離子在豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，
v_y=at=$\frac{qE}{m}$t=vsin45°，運動時間：t=$\frac{m{v}_{0}}{qE}$；
（3）磁場區(qū)域半徑：R=OA=v₀t=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
離子不從半圓形勻強磁場的圓弧ODC射出的臨界運動軌跡如圖所示，
離子不從半圓形勻強磁場的圓弧ODC射出的臨界軌道半徑：r=$\frac{1}{2}$R，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B₀=$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$，
離子不從半圓形勻強磁場的圓弧ODC射出的磁感應強度的取值范圍是：B≥B₀=$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$．
答：（1）金屬板M、N間的電壓U為B₀v₀d；
（2）離子運動到A點時的速度v的大小和由P點運動到A點所需要的時間t為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}$；
（3）試討論離子不從半圓形勻強磁場的圓弧ODC射出的磁感應強度B的取值范圍是：B≥$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$．

點評 考查了電場力與洛倫茲力平衡時的勻速直線運動，僅僅由電場力做類平拋運動，還有僅僅由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，學會如何處理類平拋運動及勻速圓周運動的問題，形成一定的解題能力．同時注意幾何知識的熟練應用，并強調(diào)洛倫茲力的方向的重要性．