Question

（2013?安慶二模）圖中左側(cè)部分為過山車簡易模型裝置，它是由弧形軌道PQ、豎直圓軌道MQ和水平軌道QN組成．所有軌道都光滑且之間均平滑對接，圓形軌道半徑R=0.5m，一質(zhì)量為m₁=1kg的小球a從離水平軌道高為h=5m的地方沿弧形軌道靜止滑下，經(jīng)圓軌道運(yùn)動(dòng)一周后與靜止在N處的小物塊b發(fā)生正碰，碰后小球a沿原路返回到M點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力恰好為0．碰后小物塊b滑上一足夠長的木板c上，已知物塊b與木板c之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.4，木板c與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1，物塊b的質(zhì)量為m₂=3kg，木板c的質(zhì)量為m₃=4.5kg，g取10m/s²，求：
（1）小球a第一次經(jīng)過圓形軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）碰后瞬間小物塊b的速度；
（3）木板c運(yùn)動(dòng)的總位移．

Answer 1

分析：1、球a從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最低點(diǎn)Q過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出Q的速度
2、根據(jù)牛頓第二定律求出球返回到圓軌道最高點(diǎn)M時(shí)的速度，球由N返回到M的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列出等式，
再根據(jù)球a與物塊b組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒求解．
3、分析物塊b和木板c的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．

解答：解：（1）設(shè)球a從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最低點(diǎn)Q時(shí)的速度大小為v，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律：
m1gh=

1

2

m1v2
解得：v=10m/s，方向水平向右        
（2）設(shè)球a與物塊b碰撞后的速度大小分別為v₁、v₂，
球返回到圓軌道最高點(diǎn)M時(shí)的速度大小為v′₁
根據(jù)牛頓第二定律，由向心力公式得：
m1g=m1

v′1 2

R

球由N返回到M的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-m1g?2R=

1

2

m1v′1 2-

1

2

m1v12
球a與物塊b發(fā)生無機(jī)械能損失的彈性正碰，由于軌道光滑，球a碰撞前的速度與第一次到軌道最低點(diǎn)的速度相等，
該過程中球a與物塊b組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定向右為正方向，
故：m₁v=-m₁v₁+m₂v₂
聯(lián)立解得：v₂=5m/s    方向水平向右            
（3）物塊b滑上木板c時(shí)，設(shè)物塊b和木板c的加速度大小分別a₁，a₂，兩者經(jīng)過時(shí)間達(dá)到共同的速度v₃．
木塊在此過程中的位移為x₁，根據(jù)牛頓第二定律得：
μ₁m₂g=m₂a₁
μ₁m₂g-μ₂（m₂+m₃）g=m₃a₂
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
v₃=v₂-a₁t
v₃=a₂t
x1=

1

2

a2t2
聯(lián)立解得：x₁=0.5m，v₃=1m/s
達(dá)共同速度后，物塊b和木板c一道做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直至停止，設(shè)該過程中減速的位移為x₂
由動(dòng)能定理得：-μ2(m2+m3)gx2=0-

1

2

(m2+m3)v32
解得：x₂=0.5m
則木板c的總位移x=x₁+x₂=1m，方向水平向右．
答：（1）小球a第一次經(jīng)過圓形軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是10m/s，方向水平向右；
（2）碰后瞬間小物塊b的速度大小是5m/s，方向水平向右；
（3）木板c運(yùn)動(dòng)的總位移大小是1m，方向水平向右．

點(diǎn)評：本題涉及到三個(gè)物體，多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，屬于多體多過程問題，難度較大，是一道難題；分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵．