Question

17．如圖所示，質(zhì)量均為2m的木板A、B并排靜止在光滑水平地面上，木板A左端與固定于水平面的半徑為R的四分之一圓弧底端相切，A與B，A與圓弧底端均不粘連，質(zhì)量為m的小滑塊從圓弧頂端靜止滑下，經(jīng)過圓弧底端后水平滑上A，并在滑到B的右端時(shí)恰好與B共速，小滑塊過圓弧底端時(shí)對軌道的壓力大小為1.5mg，且在A、B上滑行時(shí)受到的摩擦阻力相同，小滑塊與B的共同速度是小滑塊剛滑上A時(shí)的0.3倍，重力加速度為g，求：
（1）小滑塊從圓弧頂端滑到底端的過程中克服摩擦力做的功；
（2）兩板長度L₁與L₂之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小滑塊C過圓弧底端時(shí)受力情況，由牛頓第二定律求出C到達(dá)圓弧底端時(shí)的速度，再由動能定理求小滑塊從圓弧頂端滑到底到的過程中克服摩擦力做的功；
（2）C在A上滑行時(shí)，AB一起做勻加速運(yùn)動，C做勻減速運(yùn)動，以三個(gè)物體組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)的動量守恒，能量也守恒，由動量守恒定律和能量守恒定律分別列式．再研究C在B上滑行的過程，由BC組成的系統(tǒng)動量守恒和能量守恒列式，即可求解兩板長度L₁與L₂之比．

解答 解：（1）設(shè)小滑塊C到達(dá)圓弧底端時(shí)的速度為v₀，軌道對C的支持力大小為N，下滑過程C克服摩擦力做的功為W_f．
由動能定理，有：
  mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-0…①
C過圓弧底端時(shí)，由牛頓第二定律，有：N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
由牛頓第三定律，知：N=1.5mg…③
聯(lián)立①②③式得：W_f=$\frac{3}{4}$mgR…④
（2）設(shè)C剛滑過A到達(dá)B時(shí)，C的速度為v_C，A、B的速度為v，B、C共同速度為v_BC，C與A、B間的摩擦力為f．
C從滑上A到剛滑到B這個(gè)過程，C和A、B組成的系統(tǒng)動量守恒．取向右為正方向．
由動量守恒守律：mv₀=mv_C+4mv…⑤
由功能關(guān)系：fL₁=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}$×4mv²）…⑥
C滑上B到與B共速這個(gè)過程，對C和B組成的系統(tǒng)，
由動量守恒定律：mv_C+2mv=（m+2m）v_BC …⑦
由功能關(guān)系：fL₂=$\frac{1}{2}$$m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$×3mv_BC²…⑧
或：C從滑上A到與B共速的全過程，由動量守恒定律：mv₀=2mv+（m+2m）v_BC …⑨
由功能關(guān)系：f（L₁+L₂）=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$-（$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}$×3mv_BC²）…⑩
⑤⑦⑨任兩式聯(lián)立并代入v_B=0.3v₀得：v=0.05v₀，v_C=0.8v₀
⑥⑧⑩任兩式聯(lián)立并代入v=0.05v₀，v_C=0.8v₀得：$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}$=$\frac{14}{15}$…（11）
答：（1）C從圓弧頂端滑到底到的過程中克服摩擦力做的功是$\frac{14}{15}$mgR；
（2）兩板長度L₁與L₂之比14：15．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵明確滑塊和木板的運(yùn)動規(guī)律，會運(yùn)用動量守恒定律列式求解共同速度，知道內(nèi)能的增加量等于一對滑動摩擦力做功的絕對值，也可以用其他方法研究，如運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合求解．