Question

17．如圖所示，區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁=B，B₂=0.5B．區(qū)域?qū)挾确謩e為d、2d．一帶正電的粒子（重力不計(jì)）從左邊界上的A點(diǎn)垂直邊界射入?yún)^(qū)域Ⅰ中，粒子的質(zhì)量為m，帶電量為q．
（1）若粒子不能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，求粒子的速度滿足的條件及此種情況下粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）若粒子剛好能射出區(qū)域Ⅱ，求粒子的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）找到粒子不能進(jìn)入?yún)^(qū)域II的臨界幾何條件，洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合即可；
（2）畫出運(yùn)動(dòng)過程圖，找到粒子恰好能射出區(qū)域II的臨界幾何條件，再與洛倫茲力提供向心力結(jié)合即可．

解答 解：（1）粒子不能進(jìn)入II的臨界條件為粒子軌跡恰好與I、II兩區(qū)域的邊界相切，如圖一所示
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
粒子不能進(jìn)入II區(qū)域，幾何關(guān)系應(yīng)滿足：R≤d ②
聯(lián)立①②結(jié)合已知條件得：v≤$\frac{qBd}{m}$
粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}$③
聯(lián)立①③得：T=$\frac{2πm}{qB}$ ④
粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=$\frac{θ}{2π}$T ⑤
根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可知粒子垂直入射區(qū)域I，垂直穿出區(qū)域I，所以θ=π ⑥
由④⑤⑥式聯(lián)立得t=$\frac{πm}{qB}$
（2）畫出粒子運(yùn)動(dòng)過程圖，如圖二所示，設(shè)粒子在區(qū)域I、II中軌跡圓的半徑分別為R₁、R₂，圓心分別為O₁、O₂，粒子在兩個(gè)區(qū)域的軌跡恰好在C點(diǎn)相切，又因?yàn)榱Ｗ忧『蒙涑鰠^(qū)域II，所以粒子在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)的軌跡與區(qū)域II的右邊界相切于D點(diǎn)，此時(shí)粒子恰好在D點(diǎn)射出區(qū)域II．
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，在區(qū)域I中有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$ ⑦
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，在區(qū)域II中有：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑧
⑦⑧式子結(jié)合已知條件B₁=B，B₂=0.5B，可得：R₂=2R₁
根據(jù)幾何關(guān)系有：△O₁EC與△O₁FO₂全等
可得：O₂F=EC=d
所以：R₂=O₂D=O₂F+FD=4d ⑨
⑧⑨式聯(lián)立得：v=$\frac{2qBd}{m}$
答：（1）若粒子不能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，粒子的速度v應(yīng)滿足v≤$\frac{qBd}{m}$，粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$．
       （2）若粒子剛好能射出區(qū)域Ⅱ，求粒子的速度大小為$\frac{2qBd}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解決這類問題的思路是固定的，同學(xué)們要牢記：即洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合；解決第二問的關(guān)鍵在于規(guī)范作圖，分析好兩軌跡在C點(diǎn)的速度銜接關(guān)系，兩軌跡圓恰好在C點(diǎn)內(nèi)切．