Question

13．如圖所示，木塊的質(zhì)量為M，系在長為L的輕繩的一端，輕繩另一端系在水平軸上，木塊的尺寸遠(yuǎn)小于繩長．質(zhì)量為m的子彈，以v₀的水平速度射入木塊，其作用時間極短并停留在木塊中．現(xiàn)要求木塊運動后繩子始終不松弛．求子彈的初速度應(yīng)該滿足怎樣的條件？

Answer 1

分析 要使木塊運動后繩子始終不松弛，木塊的運動有兩種情況：一是木塊的速度較大，能做完整圓周運動，二是木塊的速度較小時做不完整圓周運動，不過圓心等高處．根據(jù)牛頓第二定律求出在最高點的最小速度，再根據(jù)機械能守恒定律求出子彈與木球在最低點的最小速度，最后通過動量守恒定律求出木塊做完整圓周運動時子彈的最小初速度．由機械能守恒定律求得木塊做不完整圓周運動時子彈的最大速度，從而得到子彈初速度的范圍．

解答 解：子彈擊中木塊時，取水平向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v
得：v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
下面分兩種情況：
（1）木塊不過圓心等高處．由機械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$（m+M）v²≤（m+M）gL    
解得：v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$
（2）木塊能做完整的圓周運動．由機械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$（m+M）v²=2（m+M）gL+$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²
在最高點時，有：（m+M）$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$≥（m+M）g
聯(lián)立解得：v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$
所以要求木塊運動后繩子始終不松弛，子彈的初速度應(yīng)該滿足的條件是v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$．
答：要求木塊運動后繩子始終不松弛，子彈的初速度應(yīng)該滿足的條件是v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$．

點評 本題綜合考查了動量守恒定律、機械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵理清整個運動過程，把握隱含的臨界情況，要分兩種情況進(jìn)行討論，不能漏解．