Question

19．宇宙間存在一些離其它恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L，忽略其它星體對它們的引力作用，三顆星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，萬有引力常量為G，下列說法正確的是．

• A． 每顆星做圓周運動的角速度為$\sqrt{\frac{3Gm}{{L}^{3}}}$
• B． 每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量有關
• C． 若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍
• D． 若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：A、任意兩個星星之間的萬有引力F=$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$每一顆星星受到的合力，F(xiàn)₁=$\sqrt{3}$F，由幾何關系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L…①
合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
聯(lián)立①②，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$，故A錯誤．
B、任意兩個星星之間的萬有引力F=$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$每一顆星星受到的合力就是其向心力，F(xiàn)₁=$\sqrt{3}$F，由牛頓第二定律可知可知，a=$\frac{F}{m}$=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{R}^{2}}$向心加速度與質(zhì)量有關，故B正確；
C、由$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$解得：T=$\frac{2}{3}π\(zhòng)sqrt{\frac{3{L}^{2}}{Gm}}$，若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍；故C正確；
D、由A可知v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$，則可知，L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度不變，故D錯誤．
故選：BC．

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，根據(jù)公式進行分析才能明確各物理量發(fā)生變化時周期和線速度等的變化情況．