Question

3．如圖所示，半徑為R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧AB在豎直平面內(nèi)，圓弧B處的切線水平．B端高出水平地面h=0.8m，O點(diǎn)在B點(diǎn)的正下方．將一質(zhì)量為m=1.0kg的滑塊從A端靜止釋放，落在水平面上的C點(diǎn)處，g取10m/s²．求：
（1）水平距離x_OC
（2）若在B端接一長為L=1.0m的水平木板MN，滑塊從A端靜止釋放后正好運(yùn)動(dòng)到N端停止，則木板與滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為多少
（3）若將水平木板右端截去長為△L的一段，滑塊從A端靜止釋放后將滑離木板落在水平面上的P點(diǎn)（未畫出）．要使落地點(diǎn)P距O點(diǎn)最遠(yuǎn)，則△L應(yīng)為多少？并算出OP間的最大距離．

Answer 1

分析 （1）滑塊從光滑圓弧下滑過程中，只有重力做功，滑塊的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解B點(diǎn)速度；滑塊從B到C過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解；
（2）滑塊從B端運(yùn)動(dòng)到N端停止過程，滑動(dòng)摩擦力對(duì)滑塊做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求出木板與滑塊的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）若將木板右端截去長為△L的一段，根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊滑到木板右端的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)得出落地點(diǎn)距O點(diǎn)的距離與△L的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出此距離的條件．

解答 解：（1）滑塊從光滑圓弧下滑過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，代入數(shù)據(jù)解得v_B=2m/s．
滑塊離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
豎直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，水平方向上：x_OC=v_Bt，
代入數(shù)據(jù)解得x_OC=0.8m
（2）滑塊從B端運(yùn)動(dòng)到N端停止過程，根據(jù)動(dòng)能定理得
-μmgL=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
代入解得μ=0.2
（3）若將木板右端截去長為△L的一段后，設(shè)滑塊滑到木板最右端時(shí)速度為v，由動(dòng)能定理得
-μmg（L-△L）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_}^{2}$
滑塊離開木板后仍做平拋運(yùn)動(dòng)，高度不變，運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變，則
落地點(diǎn)距O點(diǎn)的距離S=L-△L+vt
聯(lián)立整理得，S=0.8$\sqrt{△L}-△L$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得知，當(dāng)$\sqrt{△L}$=0.4時(shí)，S最大，即△L=0.16m時(shí)，S最大．
答：（1）OC的長為0.8m；
（2）木板與滑塊的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2；
（3）若將木板右端截去長為△L的一段，滑塊從A端釋放后將滑離木版落在水平面上P點(diǎn)處，要使落地點(diǎn)距O點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，△L應(yīng)為0.16m．

點(diǎn)評(píng) 此題前兩問是常規(guī)題，是機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理綜合．第（3）問，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解物理極值的能力．