Question

8．如圖所示，虛線FG、MN、CD為在同一平面內(nèi)的水平直線邊界，在MN、CD間有垂直邊界的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)的大小E=1.5×10⁵N/C，方向如圖，在FG、MN間有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.2T，已知電場和磁場沿邊界方向的長度均足夠長，電場在垂直邊界方向的寬度d₁=0.20m，在CD邊界上某點(diǎn)O處有一放射源，沿紙面向電場中各個(gè)方向均勻地輻射出速率均為v₀=1.0×10⁶m/s的某種帶正電粒子，粒子質(zhì)量m=6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以無阻礙地通過邊界MN進(jìn)入磁場，不計(jì)粒子的重力及相互作用．
（1）求粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）要使所有粒子不從FG邊界射出，求磁場垂直邊界MN方向上的最小寬度d；
（3）若磁場垂直邊界MN方向上的寬度為0.2m，求邊界FG上有粒子射出的長度范圍及粒子首次在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）只要進(jìn)入磁場的粒子電場力做功是一定的，由動(dòng)能定理可以求出進(jìn)入磁場的速率，由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子在磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）先由左手定則判斷出粒子做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)從邊界線最左邊射入磁場的軌跡與上邊界相切時(shí)，此種情況下磁場區(qū)域最寬，由此畫出軌跡，由幾何關(guān)系就能求出磁場區(qū)域的最小寬度．
（3）由于磁場的寬度與粒子的半徑相等，所以在想象中拿一個(gè)定圓在寬度一定的磁場區(qū)域移動(dòng)，這樣可以找到打在磁場上邊緣最左端的位置--即從最左端進(jìn)入磁場的粒子打在最左端，最右的位置顯然是豎直向上射出的粒子恰好與上邊緣相切，由幾何關(guān)系求出兩點(diǎn)的距離即為所求；至于最長時(shí)間，顯然偏轉(zhuǎn)角最大的--即打在最左端的粒子恰好轉(zhuǎn)過半周，所以最長時(shí)間是半個(gè)周期．

解答 解：（1）帶電粒子從電場進(jìn)入磁場，由動(dòng)能定理有：
   $Eqd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
   進(jìn)入磁場后，洛侖茲力提供向心力：
   $qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
   聯(lián)立兩式得：v=2×10⁶m/s，r=0.2m 
（2）在O點(diǎn)水平向左或向右方向射出的粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，其偏向角與水平方向
   夾角為θ，則：
   $tanθ=\frac{\sqrt{2\frac{Eq}{m}d}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2×\frac{1.5×1{0}^{5}×3.2×1{0}^{-19}}{6.4×1{0}^{-27}}×0.2}}{1.0×1{0}^{6}}$=$\sqrt{3}$，
   所以θ=60°
      當(dāng)從最左邊射出的粒子進(jìn)入磁場后是一個(gè)優(yōu)弧，當(dāng)該優(yōu)弧與磁場上邊界相切時(shí)，
   由幾何關(guān)系有磁場寬度為d=L_min=r+rcos60°=0.2m+02．×0.5m=0.3m
（3）水平向左射出的粒子打在A點(diǎn)，水平位移：
    x=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2djfrdzt_{1}}{\frac{Eq}{m}}}$=$1.0×1{0}^{5}×\sqrt{\frac{2×0.2×6.4×1{0}^{-27}}{1.5×1{0}^{5}×3.2×1{0}^{-19}}}m$=$\frac{0.4\sqrt{3}}{3}m$=0.23m
   從A點(diǎn)與水平方向成60°射出的粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)打在上邊邊界的P點(diǎn)，由對(duì)稱
  性，可知P點(diǎn)偏離O點(diǎn)的左邊x=0.23m．Ⅲ
   顯然從O點(diǎn)豎直向上射出的粒子劃過四分之一圓弧打在Q點(diǎn)，該點(diǎn)是粒子打擊的
   最右端．由幾何關(guān)系可知Q點(diǎn)偏離O點(diǎn)的右邊r=0.2m
   所以能夠從FG邊緣穿出的長度范圍為x+r=0.43m
   顯然豎直向上射出的粒子恰恰在磁場中轉(zhuǎn)過半周，轉(zhuǎn)180再回到MN，此種情況粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長．
   ${t}_{max}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}×\frac{2×3.14×0.2}{2×1{0}^{6}}s$=3.14×10^-7s
答：（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為0.2m．
（2）要使所有粒子不從FG邊界射出，磁場垂直邊界MN方向上的最小寬度d為0.3m．
（3）若磁場垂直邊界MN方向上的寬度為0.2m，邊界FG上有粒子射出的長度范圍為0.43m、粒子首次在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為3.14×10^-7s．

點(diǎn)評(píng) 本題的第一問只是為后兩問做一個(gè)鋪墊，做每二問時(shí)要注意粒子的偏轉(zhuǎn)方向，只有從最左端以一定角度射入磁場的粒子的軌跡恰與上邊緣相切時(shí)，磁場寬度最小，由幾何關(guān)系關(guān)系就能求出結(jié)果；第三問由于磁場寬度與粒子的半徑相同，所以要找到粒子打在最左和最右的位置，再由幾何關(guān)系求出長度，以上兩問幾乎是在做平面幾何的數(shù)學(xué)題．