Question

如圖甲所示，在邊界OO′左側區(qū)域有一勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場方向水平向外．右側水平放置長為L、相距為d的平行金屬板M、N，M 板左端緊靠磁場邊界，磁場邊界上O點與N 板在同一水平面上，邊界OO′與水平面的夾角為45°，O₁O₂為平行板的中線，在兩板間存在如圖乙所示的交變電場（取豎直向下為正方向）．某時刻從O 點豎直向上同時發(fā)射兩個質量均為m、電量均為+q的粒子a和b，初速度不同．粒子b在圖乙中的時刻，恰好緊靠M板左端進入電場，粒子a從O₁點進入板間電場運動．不計粒子重力和粒子間的相互作用．

求：
（1）粒子a、b 從O 點射出時的初速度v_a和v_b；
（2）若交變電場周期T=

4m

qB

，粒子b在圖乙中的t=0時刻進入電場，粒子a是在圖乙中的哪一時刻，從O₁點進入板間電場運動；
（3）若粒子b 恰能以最大的速度穿出極板間電場，電場強度大小E₀ 應滿足的條件及粒子b穿過板間電場過程中，電場力所做功的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意正確畫出粒子在磁場中的運動的軌跡，在根據軌跡上的幾何關系確定粒子運動的半徑，由洛倫茲力提供向心力求得速度；
（2）粒子a、b同時離開磁場，a比b進入電場落后時間為△t=

d

2va

，即可求解．
（3）根據牛頓第二定律求出加速度，進而確定粒子在電場中運動的規(guī)律，最后求出電場強度滿足的條件；電場力做功最大值為 W=qE₀y，y是粒子在

T

2

時間內沿電場方向的位移．

解答：解：（1）如圖甲所示，粒子a、b在磁場中均偏轉90°平行于金屬板進入電場，設兩粒子在磁場中回旋半徑分別是r_a和r_b，則由幾何關系有：
 r_a=

d

2

； r_b=d
由洛倫茲力提供向心力有：
qvB=m

v2

r

，v=

qBr

m

解得：v_a=

qBd

2m

，v_b=

qBd

m

（2）粒子a、b同時離開磁場，a比b進入電場落后時間為：△t=

d

2va

=

d

2? qBd 2m

=

m

qB

=

T

4

故粒子b在圖乙中的t=0時刻進入電場，粒子a是在圖乙中的

T

4

時刻，從O₁點進入板間電場運動；
（3）粒子b在t=0時刻進入電場，粒子在電場中運動的加速度 a=

qE0

m

，粒子b在電場方向上速度隨時間的變化圖象如圖丙所示，依題意，粒子b在電場中運動的時間滿足：
t_b=

L

vb

=k

T

2

（k=1、3、5…）
又因為有：v_b=

qBd

m

粒子在

T

2

時間內沿電場方向的位移為：
y=

1

2

a(

T

2

)2
且滿足ky≤d
解得：E₀≤

2kqd2B2

mL2

（k=1、3、5…）
電場力做功為：W=qE₀y=qE₀?

1

2

a(

T

2

)2
解得：W=

2q2d4B2

mL2

答：（1）粒子a、b 從O 點射出時的初速度v_a和v_b分別為

qBd

2m

和

qBd

m

．
（2）粒子b在圖乙中的t=0時刻進入電場，粒子a是在圖乙中的

T

4

時刻，從O₁點進入板間電場運動；
（3）若粒子b 恰能以最大的速度穿出極板間電場，電場強度大小E₀ 應滿足的條件：E₀≤

2kqd2B2

mL2

（k=1、3、5…），粒子b穿過板間電場過程中，電場力所做功的最大值為

2q2d4B2

mL2

．

點評：做好此類題目的關鍵是準確的畫出粒子運動的軌跡圖，利用幾何知識求出粒子運動的半徑，再結合半徑公式和周期公式去分析，難度較大．