Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣0.3，0）、C是x軸上的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0.3）．在第二象限內(nèi)以D（﹣0.3，0.3）為圓心、0.3m為半徑的 圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.1T 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在第一象限三角形OPC之外的區(qū)域，分布著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有大量質(zhì)量為m=3×10﹣9kg、電荷量為q=1×10﹣4C的相同粒子，從A點(diǎn)平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁場(chǎng)區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后恰好通過C點(diǎn)．已知α=37°，不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：

（1）粒子的初速度大小和電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑r，粒子的初速度v

洛倫茲力提供向心力：qvB=m

可得：r= ①

根據(jù)題意和幾何知識(shí)，可得r=DP=0.3m代入①得：v=1×103m/s

沿AD方向的粒子由P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸垂直．所以，該粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

x方向：OC=vt ②

y方向：OP= at2 ③

根據(jù)幾何關(guān)系得： =tanα ④

根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma ⑤

②③④⑤式子聯(lián)立得：E=112.5V/m

答：粒子的初速度大小v=1×103m/s，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=112.5V/m；

（2）設(shè)速度方向與x軸正方向的夾角為θ的入射粒子，從x正半軸穿過時(shí)距離O點(diǎn)最遠(yuǎn)，粒子從F點(diǎn)離開磁場(chǎng)，其中O′是粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，粒子運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度為vF，

由于粒子的運(yùn)動(dòng)半徑等于磁場(chǎng)的半徑，所以四邊形ADFO′為菱形，O′F∥AD，速度vF⊥O′F，而AD又是豎直方向，所以vF垂直于y軸從F′點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，仍做類平拋運(yùn)動(dòng)

設(shè)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′，粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)為xC，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)x方向的位移為x，F(xiàn)′點(diǎn)的坐標(biāo)為（xF′，yF′），F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yF，則yF=yF′，

類平拋過程，x方向：x=vt′⑥

y方向：yF= at′2 ⑦

粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)為xC=x+xF′⑧

根據(jù)幾何關(guān)系得：xF′= ⑨

yF=r（1﹣cosθ） ⑩

聯(lián)立①⑥⑦⑧⑨⑩式，得：xC=0.4 +0.4cosθ

令 =k，所以xC=0.4k+0.4（1﹣k2）

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)k=0.5時(shí)xC有最大值，最大值為0.5m

答：粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)為0.5m．

【解析】（1）先根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出半徑，進(jìn)而求出速度的大小，粒子在電場(chǎng)中，做類平拋運(yùn)動(dòng)有規(guī)律，列式求解。
（2）因?yàn)榱Ｗ舆M(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度沿x軸的正方向，根據(jù)集合關(guān)系，求出到達(dá)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)學(xué)，輔助角公式，求出粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)．