Question

4．天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為L(zhǎng)，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量．（引力常量為G）

Answer 1

分析 這是一個(gè)雙星的問題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律解決問題．

解答 解：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m₁、m₂，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r₁、r₂，角速度分別為ω₁，ω₂．根據(jù)題意有
ω₁=ω₂①
r₁+r₂=r②
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓定律，有
G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{{ω}_{1}}^{2}{r}_{1}$③
G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}{{ω}_{2}}^{2}{r}_{2}$④
聯(lián)立以上各式解得  ${r}_{1}=\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$ ⑤
根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知ω₁=ω₂=$\frac{2π}{T}$⑥
聯(lián)立③⑤⑥式解得：${m}_{1}+{m}_{2}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}{L}^{3}$
答：這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}{L}^{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．