Question

（2011?天門模擬）真空中有一半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點(diǎn)的切線，如圖所示．從O點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率均為V₀的電子，設(shè)電子間相互作用忽略，且電子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r．已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m．
（1）速度方向分別與Ox方向夾角成60°和90°的電子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為多少？
（2）所有從磁場(chǎng)邊界射出的電子，速度方向有何特征？
（3）設(shè)在某一平面內(nèi)有M、N兩點(diǎn)，由M點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為V₀的電子．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布，使得由M點(diǎn)發(fā)出的所有電子都能夠會(huì)聚到N點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）先畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角，根據(jù)圓心角與周期的關(guān)系求解時(shí)間；
（2）由軌跡圖可知O₂A與電子射出的速度方向垂直，電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場(chǎng)時(shí)，速度方向均與Ox軸相同；
（3）上題中從圓形磁場(chǎng)射出的這些速度相同的電子進(jìn)入一相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，一定會(huì)聚焦于同一點(diǎn)磁場(chǎng)的分布如圖所示，然后分對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線上方運(yùn)動(dòng)的電子和對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線下方運(yùn)動(dòng)的電子，根據(jù)半徑與MN間的距離的關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）如圖，入射時(shí)電子速度與x軸夾角為θ，無論入射擊的速度方向與x軸的夾角為何值，由入射點(diǎn)O射出點(diǎn)A磁場(chǎng)圓心O₁和軌道圓心O₂一定組成邊長(zhǎng)為r的菱形．因O₁O⊥O_X，OO₂垂直于入射速度，故∠OO₂A=θ．即電子在磁場(chǎng)中所偏轉(zhuǎn)的角度一定等于入射時(shí)電子速度與Ox軸的夾角．
當(dāng)θ=60°時(shí)，t₁=

T

6

=

πr

3v

．
當(dāng)θ=90°時(shí)，t₂=

T

4

=

πr

2v

．
（2）因∠OO₂A=θ，故O₂A⊥O_x．而O₂A與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場(chǎng)時(shí)，速度方向均與Ox軸相同．
（3）上述的粒子路徑是可逆的，（2）中從圓形磁場(chǎng)射出的這些速度相同的電子進(jìn)入一相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，
一定會(huì)聚焦于同一點(diǎn)磁場(chǎng)的分布如圖所示，對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線上方運(yùn)動(dòng)的電子，兩磁場(chǎng)分別與MN相切，M、N為切點(diǎn)，且平行于兩磁場(chǎng)邊界圓心的連線O₁O₂．設(shè)為l，所加的磁場(chǎng)的邊界所對(duì)應(yīng)圓的半徑為r，故應(yīng)有2r≤l，即

2mv

eB

≤l，所以所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足B≥

2mv

el

．
同理，對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線下方運(yùn)動(dòng)的電子，只要使半徑相同的兩圓形磁場(chǎng)與止方的兩圓形磁場(chǎng)位置關(guān)于MN對(duì)稱且磁場(chǎng)方向
與之相反即可．
答：（1）速度方向分別與Ox方向夾角成60°和90°的電子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為

πr

3v

和

πr

2v

；
（2）所有從磁場(chǎng)邊界射出的電子，速度方向均與Ox軸相同；
（3）如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，知道如何求小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，能熟練運(yùn)用幾何關(guān)系解題，難度較大，屬于難題．