Question

如圖所示，I、Ⅱ為兩勻強磁場區(qū)，I區(qū)域的磁場方向垂直紙面向里，Ⅱ區(qū)域的磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強度大小均為B，兩區(qū)域中間為寬s的無磁場區(qū)Ⅱ．有一粗細均勻的邊長為L（L＞s）、電阻為R的正方形金屬框abcd置于I區(qū)域，ab邊與磁場邊界平行，現(xiàn)拉著金屬框以速度v向右勻速移動．求：
（1）分別求出當ab邊剛進入中央無磁場區(qū)Ⅱ，和剛進入磁場區(qū)Ⅲ時，通過ab邊的電流的大小和方向．
（2）求金屬框從區(qū)域I完全進入?yún)^(qū)域Ⅲ過程中拉力所做的功．
（3）若L=s且ab邊初始位置到中央無磁場區(qū)Ⅱ左邊界距離也為L，畫出從開始到cd邊剛進入磁場區(qū)Ⅲ的過程中的U_ab-t圖象．

Answer 1

分析：（1）當ab邊剛進入中央無磁場區(qū)Ⅱ，cd邊在磁場區(qū) 內(nèi)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，根據(jù)E=BLv和歐姆定律求出感應(yīng)電流，由右手定則判斷感應(yīng)電流的方向；ab邊剛進入磁場區(qū)Ⅱ時，ab邊、cd邊都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，運用同樣的方法求解感應(yīng)電流的大小和方向．
（2）金屬框勻速運動中，拉力與安培力平衡，根據(jù)F_A=

B2L2v

R

求出安培力，即得到拉力大小，再由功的公式求解拉力做功．
（3）根據(jù)U_ab與感應(yīng)電動勢的關(guān)系，分段求出U_ab的大小，再畫出電壓圖象．

解答：解：（1）ab邊剛進入中央無磁均區(qū)Ⅱ時，cd邊在磁場區(qū) 內(nèi)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E=BLv，感應(yīng)電流大小為I₁=

BLv

R

，由右手定則，方向badcb．
ab邊剛進入磁場區(qū)Ⅱ時，ab邊、cd邊都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢且都為順時針方向，大小都為BLv，所以感應(yīng)電流為I₂=2

BLv

R

，方向badcb．
（2）在ab邊穿過寬為s的Ⅱ區(qū)過程中，cd邊受安培力F₁=BI₁L=

B2L2v

R

，由于勻速運動，拉力大小等于安培力，所以拉力做功W₁=F₁s=

B2L2v

R

s．
當ab邊進入Ⅲ區(qū)、cd邊未進入Ⅱ區(qū)過程中，ab邊、cd邊都受安培F₂=BI₂L=2

B2L2v

R

，勻速拉動外力應(yīng)等于2F₂，通過距離為（L-s），故拉力做功為W₂=F₂s=2F₂（L-s）=

4B2L2v(L-s)

R

．
當cd邊通過Ⅱ區(qū)過程中，只有ab邊受安培力，且F₃=F₂，距離為s，拉力做功為W₃=F₃s=

B2L2v

R

s．
當線圈完全進入Ⅲ區(qū)后，無感應(yīng)電流，不受安培力，拉力為零，不做功，所以總功為
W=W₁+W₂+W₃=

4B2L2v(L- s 2 )

R

（3）若L=s時，分過程求出U_ab．
①初始位置到中央無磁場區(qū)Ⅱ左邊界的過程，線框的磁通量不變，沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，由右手定則判斷得：b的電勢高于a的電勢，則U_ab=-BLv，運動時間為t=

L

v

；
②ab邊剛進入中央無磁場區(qū)Ⅱ，cd邊在磁場區(qū)內(nèi)，由右手定則判斷得：b的電勢高于a的電勢，U_ab=-

1

4

BLv，運動時間為t=

L

v

；
③ab邊剛進入磁場區(qū)Ⅱ時，cd邊在無場區(qū)內(nèi)，由右手定則判斷得：b的電勢低于a的電勢，U_ab=

3

4

BLv，運動時間為t=

L

v

；
畫出U_ab-t圖象如圖．
答：
（1）當ab邊剛進入中央無磁場區(qū)Ⅱ時感應(yīng)電流大小為

BLv

R

，方向badcb．剛進入磁場區(qū)Ⅲ時，通過ab邊的電流大小為2

BLv

R

，方向badcb．
（2）求金屬框從區(qū)域I完全進入?yún)^(qū)域Ⅲ過程中拉力所做的功為

4B2L2v(L- s 2 )

R

．
（3）畫出U_ab-t圖象如圖．

點評：本題中安培力的分析和計算是關(guān)鍵，容易出錯的地方是：當兩個邊切割磁感線時，電路中有兩個電動勢，總電動勢為2BLv．同時要注意U_ab有正負，要根據(jù)右手定則或楞次定律判斷a、b兩點電勢高低確定其正負．