Question

19．如圖所示，水平面上有一輕質(zhì)彈簧，左端固定，水平面右側(cè)有一豎直放置的光滑半圓軌道ABC，A點(diǎn)與水平面相切，半徑為R=0.9m，O是圓心．現(xiàn)用一質(zhì)量m=1.0kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧緩慢壓縮到某點(diǎn)，并由靜止釋放，物體離開(kāi)彈簧后，沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能到達(dá)C點(diǎn)，最終落到水平面上的D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）．g取10m/s²．求：
（1）物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）物體落地點(diǎn)D與A點(diǎn)間的距離；
（3）若物體到達(dá)A點(diǎn)速度為3$\sqrt{5}$m/s，則在A點(diǎn)處物體對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）物體恰好能到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解C點(diǎn)的速度．
（2）物體離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的分解法求解物體落地點(diǎn)D與A點(diǎn)間的距離．
（3）在A點(diǎn)處，由牛頓第二定律結(jié)合牛頓第三定律求解即可．

解答 解：（1）據(jù)題，物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，則有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$…①
代入數(shù)值解得：v_c=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.9}$=3m/s…②
（2）物體從C點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
則得：x=v_C$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=3×$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$m=1.8m；
（3）在A點(diǎn)處，由牛頓第二定律得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}=mg+m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}=60N$，
根據(jù)牛頓第三定律可知，在A點(diǎn)處物體對(duì)軌道的壓力為60N．
答：（1）物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為3m/s；
（2）物體落地點(diǎn)D與A點(diǎn)間的距離為1.8m；
（3）若物體到達(dá)A點(diǎn)速度為3$\sqrt{5}$m/s，則在A點(diǎn)處物體對(duì)軌道的壓力為60N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律的直接應(yīng)用，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，分析圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，掌握平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．