Question

【題目】如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L＝3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r＝1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O2A、O1B與豎直方向的夾角均為＝37°�，F(xiàn)有一質(zhì)量為m＝1kg的小球穿在滑軌上，以v0的初速度從B點(diǎn)開始沿AB向上運(yùn)動(dòng)，小球與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝1/3，設(shè)小球經(jīng)過軌道連接處均無能量損失。（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：

（1）要使小球能通過圓弧形軌道APD的最高點(diǎn)，初速度v0至少多大？

（2）若以題（1）中求得的最小初速度v0從B點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)，小球剛能通過圓弧形軌道APD的最高點(diǎn)，求小球第一次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

（3）若以題（1）中求得的最小初速度v0從B點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)，小球剛能通過圓弧形軌道APD的最高點(diǎn)，計(jì)算說明小球能經(jīng)過C點(diǎn)的次數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）2m/s（2）40N（3）4次

【解析】試題分析：小球穿在滑軌上，通過軌道APD的最高點(diǎn)時(shí)速度可以為零，根據(jù)動(dòng)能定理求初速度v0；球剛能通過圓弧形軌道APD的最高點(diǎn)時(shí)速度為零，根據(jù)動(dòng)能定理求出小球第一次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度，小球在Q點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求小球第一次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；小球在直軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于克服摩擦而做功，其機(jī)械能要減少，根據(jù)功能關(guān)系分析小球經(jīng)過C點(diǎn)的動(dòng)能，確定小球能經(jīng)過C點(diǎn)的次數(shù)。

（1）因?yàn)樾∏蚴谴┰跅U上，所以到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度可以為0，由B到圓弧形軌道APD的最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：

解得：

（2）

解得：

小球第一次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的支持力為，得N=40N

所以，小球第一次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為40N

（3）當(dāng)小球在B點(diǎn)以v0=2m/s向上運(yùn)動(dòng)，再次回到B點(diǎn)時(shí)，損失的機(jī)械能為：

再次回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為：

由于，分析知，小球沿AB上升到某點(diǎn)后將下滑，第三次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)動(dòng)能小于12J，第二次經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)動(dòng)能22J，小于30J，第三次經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)動(dòng)能大于2J，小于10J，此后小球?qū)�無法再次回到B點(diǎn)，下滑后第四次經(jīng)過C點(diǎn)，在未到D點(diǎn)時(shí)停止，所以小球能經(jīng)過C點(diǎn)的次數(shù)為4次。