Question

16．如圖所示，半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道豎直固定，其右方有底面半徑為r，高度為h的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與圓弧軌道低端B等高，轉(zhuǎn)筒的筒壁開有一寬度與小球直徑接近的狹縫，其軸線與圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，開始時(shí)狹縫也在這一平面內(nèi)的圖示位置．今讓一質(zhì)量為m的小球自A點(diǎn)由靜止開始沿圓弧軌道滑下，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)觸動(dòng)光電裝置，使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)起來，不計(jì)一切摩擦阻力．
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小F_B
（2）如果小球從狹縫的中間位置C點(diǎn)進(jìn)入轉(zhuǎn)筒，求轉(zhuǎn)筒軸線距B點(diǎn)的距離L．
（3）通過調(diào)節(jié)L的長度，使小球能夠恰好從狹縫進(jìn)入轉(zhuǎn)筒后，再從狹縫射出轉(zhuǎn)筒，并且轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)最少，求L的長度和轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球從A到B的過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度，在B點(diǎn)，由合力提供向心力，根據(jù)向心力公式及牛頓第三定律即可求解；
（2）小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律即可求解轉(zhuǎn)筒軸線距B點(diǎn)的距離L；
（3）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，所以在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$（n=1，2，3…）．

解答 解：（1）小球從A到B的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
   mgR=$\frac{1}{2}$mv_B² ①
在B點(diǎn)，由向心力公式可得  N-mg=$\frac{mv_B^2}{R}$  ②
聯(lián)立解得 N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力大小等于支持力，方向豎直向下 F_B=N=3mg  ③
（2）小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
   $\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}g{t^2}$  ④
   L-r=v_Bt ⑤
聯(lián)立①④⑤可得  L=r+$\sqrt{2Rh}$
（3）當(dāng)小球從B到射入轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)過1圈，小球穿過轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)過半圈時(shí)，轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)最少 L-r=v_Bt₁ ⑥
又ωt₁=2π  ⑦
    2r=v_Bt₂ ⑧
ωt₂=π  ⑨
聯(lián)立①⑥⑦⑧⑨可得 L=5r，ω=$\frac{{π\(zhòng)sqrt{2gR}}}{2r}$．
答：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小F_B是3mg．
（2）如果小球從狹縫的中間位置C點(diǎn)進(jìn)入轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒軸線距B點(diǎn)的距離L是r+$\sqrt{2Rh}$．
（3）L的長度是5r，轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω是$\frac{{π\(zhòng)sqrt{2gR}}}{2r}$．

點(diǎn)評 本題要分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，知道圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能守恒定律等知識解答．