Question

17．一個(gè)光滑的圓柱體固定在桌面上，圓柱體的半徑為r，質(zhì)量分別為m_A和m_B的兩個(gè)小球A和B（都可看作質(zhì)點(diǎn)，且m_A＞m_B），用一根細(xì)線相連接，細(xì)線的長(zhǎng)度恰好等于圓柱體的半個(gè)周長(zhǎng)，開(kāi)始時(shí)使兩小球位于同一水平面上，如圖所示，無(wú)初速地釋放，A球向下運(yùn)動(dòng)，B球沿圓柱面運(yùn)動(dòng)．求
（1）當(dāng)A球到達(dá)桌面的時(shí)刻，B球的速度多大？
（2）設(shè)A球落到桌面后即停止運(yùn)動(dòng)，求兩球質(zhì)量滿足怎樣的關(guān)系，小球B能通過(guò)圓柱體的最高點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系可求得B轉(zhuǎn)過(guò)的角度，由動(dòng)能定理可求得B的速度；
（2）根據(jù)通過(guò)最高點(diǎn)的條件，利用機(jī)械能守恒定律可求得兩球質(zhì)量應(yīng)滿足的關(guān)系．

解答 解：
（1）當(dāng)A下落到達(dá)桌面時(shí)，B沿圓弧上升轉(zhuǎn)過(guò)θ角，它上升的高度為h=rsinθ（1）
由弧長(zhǎng)公式可得：θr=r（2）
即θ=1
設(shè)A球到達(dá)桌面時(shí)B求的速度為v則：$\frac{1}{2}（{{m_A}+{m_B}}）{v^2}=-（{{m_B}gh-{m_A}gr}）$
可得：$v=\sqrt{\frac{{2gr（{{m_A}-{m_B}•sin1}）}}{{{m_A}+{m_B}}}}$（3）
（2）設(shè)B經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v'，則能通過(guò)圓柱體的最高點(diǎn)的條件是：$0＜v'＜\sqrt{gr}$（4）
由機(jī)械能守恒得：${m_B}gr（{1-sin1}）=\frac{1}{2}{m_B}{v^2}-\frac{1}{2}{m_B}{v'^2}$（5）
且$v=\sqrt{\frac{{2gr（{{m_A}-{m_B}sin1}）}}{{{m_A}+{m_B}}}}$（6）
由（4）（5）（6）可得：$\frac{1}{sin1}＜\frac{m_A}{m_B}＜\frac{3}{2sin1-1}$（7）
答：當(dāng)A球到達(dá)桌面的時(shí)刻，B球的速度為$v=\sqrt{\frac{{2gr（{{m_A}-{m_B}•sin1}）}}{{{m_A}+{m_B}}}}$
（2）設(shè)球落到桌面后即停止運(yùn)動(dòng)，兩球質(zhì)量滿足怎樣的關(guān)系$\frac{1}{sin1}＜\frac{m_A}{m_B}＜\frac{3}{2sin1-1}$，小球B能通過(guò)圓柱體的最高點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，解題時(shí)要注意明確數(shù)學(xué)知識(shí)的正確應(yīng)用，這對(duì)學(xué)生要求較高，應(yīng)多加練習(xí)．