Question

3．蹦床比賽分成預備運動和比賽動作．最初，運動員靜止站在蹦床上；在預備運動階段，他經過若干次蹦跳，逐漸增加上升高度，最終達到完成比賽動作所需的高度；此后，進入比賽動作階段．把蹦床簡化為一個豎直放置的輕彈簧，彈力大小F=kx（x為床面下沉的距離，k為常量）．質量m=50kg的運動員靜止站在蹦床上，床面下沉x₀=0.10m；在預備運動中，假定運動員所做的總功W全部用于其機械能；在比賽動作中，把該運動員視作質點，其每次離開床面做豎直上拋運動的騰空時間均為△t=2.0s，設運動員每次落下使床面壓縮的最大深度均為x₁．取重力加速度g=10m/s²，忽略空氣阻力的影響．
（1）求常量k，并在圖中畫出彈力F隨x變化的示意圖；
（2）求在比賽動作中，運動員離開床面后上升的最大高度h_m；
（3）借助F-x圖象可以確定彈性做功的規(guī)律，在此基礎上，求x₁和W的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律求出勁度系數(shù)，抓住彈力與形變量成正比，作出彈力F隨x變化的示意圖．
（2）根據(jù)豎直上拋運動的對稱性，求出人在空中下落的時間，根據(jù)自由落體運動的位移時間公式求出運動員離開床面后上升的最大高度．
（3）根據(jù)圖線圍成的面積表示彈力做功，得出彈力做功的表達式，根據(jù)動能定理求出彈力做功，從而求出x₁的值．

解答 解：（1）根據(jù)胡克定律得，mg=kx₀，解得 k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$=$\frac{500}{0.1}$=5000N/m．
F隨x的變化示意圖如圖所示．

（2）根據(jù)豎直上拋運動的對稱性，知運動員下落的時間為1s．
則上升的最大高度 h_m=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×{1}^{2}$=5m．
（3）人靜止時彈性勢能 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$=25J
運動員與彈簧接觸時的速度 v=gt=10m/s．
以彈簧面為參考面，根據(jù)動能定理得 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$-mgx₀+W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
人從最高處5m下落到最低處：$\frac{1}{2}$kx₁²=mg（h+x₁）
聯(lián)立兩式解得 x₁=$\frac{\sqrt{101}+1}{10}$m≈1.1m．
W=2525J．
答：
（1）常量k=5000N/m，彈力F隨x變化的示意圖如圖所示．

（2）運動員離開床面后上升的最大高度為5m．
（3）x₁和W的值分別為1.1m和2525J．

點評 解決本題的關鍵知道運動員在整個過程中的運動情況，結合運動學公式、動能定理等知識進行求解．