Question

4．如圖為某種質(zhì)譜儀的結(jié)構(gòu)的截面示意圖，該種質(zhì)譜儀由加速電場、靜電分析器、磁分析器及收集器組成．其中靜電分析器由兩個(gè)相互絕緣且同心的四分之一圓柱面的金屬電極K₁和K₂構(gòu)成，兩柱面電極的半徑分別為R₁和R₂，O₁點(diǎn)是圓柱面電極的圓心．S₁和S₂分別為靜電分析器兩端為帶電粒子進(jìn)出所留的狹縫．靜電分析器中的電場的等勢面在該截面圖中是一系列以O(shè)₁為圓心的同心圓弧，圖中虛線A是到K₁、K₂距離相等的等勢線．磁分析器中有以O(shè)₂為圓心的四分之一圓弧的區(qū)域，該區(qū)域有垂直于截面的勻強(qiáng)磁場，磁場左邊界與靜電分析器的右邊界平行．P₁為磁分析器上為帶電粒子進(jìn)入所留的狹縫，O₂P₁的連線與O₁S₁的連線垂直．
離子源不斷地發(fā)出正離子束，正離子束包含電荷量均為q的兩種質(zhì)量分別為m、m′（m＜m′＜2m）的同位素離子，其中質(zhì)量為m的同位素離子個(gè)數(shù)所占的百分比為α．離子束從離子源發(fā)出的初速度可忽略不計(jì)，經(jīng)電壓為U的加速電場加速后，全部從狹縫S₁沿垂直于O₁S₁的方向進(jìn)入靜電分析器．穩(wěn)定情況下，離子束進(jìn)入靜電分析器時(shí)的等效電流為I．進(jìn)入靜電分析器后，質(zhì)量為m的同位素離子沿等勢線A運(yùn)動(dòng)并從狹縫S₂射出靜電分析器，而后由狹縫P₁沿垂直于O₂P₁的方向進(jìn)入磁場中，偏轉(zhuǎn)后從磁場下邊界中點(diǎn)P₂沿垂直于O₂P₂的方向射出，最后進(jìn)入收集器．忽略離子的重力、離子之間的相互作用、離子對場的影響和場的邊緣效應(yīng)．
（1）求靜電分析器中等勢線A上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的大��；
（2）通過計(jì)算說明質(zhì)量為m′的同位素離子能否從狹縫S₂射出電場并最終從磁場下邊界射出；
（3）求收集器單位時(shí)間內(nèi)收集的離子的質(zhì)量M₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求得加速后獲得的速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡判斷出在靜電分析器中的半徑，利用電場力提供向心力求得點(diǎn)場強(qiáng)度；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得在加速電場中獲得的速度，在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供粒子作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求得，即可判斷
（3）有離子都能進(jìn)入磁場并從磁場下邊界射出進(jìn)入收集器，由題意可知，進(jìn)入收集器的離子中，質(zhì)量為m的離子個(gè)數(shù)N₁=αN，質(zhì)量為m′的離子個(gè)數(shù) N₂=（1-α）N，即可求得

解答 解：（1）由題意可知，等勢線A的半徑為：
R=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{2}$
質(zhì)量為m的離子在靜電分析器中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
設(shè)質(zhì)量為m的離子從狹縫S₁進(jìn)入靜電分析器時(shí)的速度為v，則其在加速電場中加速過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：qU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：E=$\frac{4U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
（2）設(shè)質(zhì)量為m′的離子經(jīng)加速電場加速后，速度為v′，由動(dòng)能定理可得：qU=$\frac{1}{2}$m′v′²
質(zhì)量為m′的離子在電場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力為：F_向=m′$\frac{v{′}^{2}}{R}$
解得：F_向=qE
即該離子所受電場力，恰好等于它若做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，因此這個(gè)離子仍然在靜電分析器中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．故質(zhì)量為m′的離子能從狹縫S₂射出，仍從狹縫P₁進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
設(shè)質(zhì)量為m′的離子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r′，O₂P₂=d，
若質(zhì)量為m′的離子能從磁場下邊界射出，則出射位置到O₂距離為x須滿足的條件為0＜x＜2d
質(zhì)量為m的離子在磁分析器中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)牛頓第二定律有qvB=m$\frac{v2}{r}$ 
離子在磁分析器中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，r∝$\sqrt{m}$
由題意可知，質(zhì)量為m的離子圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=d
所以質(zhì)量為m′的離子在磁分析器中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
r′=$\sqrt{\frac{m′}{m}}$r=$\sqrt{\frac{m′}{m}}$d 
因m＜m′＜2m，故d＜r′＜$\sqrt{2}$d
則由幾何關(guān)系有：r′²=x²+（r′-d）²
解得：x²_max=（2$\sqrt{2}$-1）d²＜4d²，所以質(zhì)量為m′的離子能從磁場下邊界射出
（3）時(shí)間△t內(nèi)能進(jìn)入靜電分析器的離子個(gè)數(shù)N=$\frac{I△t}{q}$ 
因所有離子都能進(jìn)入磁場并從磁場下邊界射出進(jìn)入收集器，由題意可知，進(jìn)入收集器的離子中，質(zhì)量為m的離子個(gè)數(shù)N₁=αN，質(zhì)量為m′的離子個(gè)數(shù)為：N₂=（1-α）N 
解得：M₀=$\frac{{N}_{1}m+{N}_{2}m′}{△t}$=$\frac{I}{q}$[α﹒m+（1-α） m′]
答：（1）靜電分析器中等勢線A上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的大小為=$\frac{4U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
（2）質(zhì)量為m′的同位素離子能從狹縫S₂射出電場并最終從磁場下邊界射出；
（3）收集器單位時(shí)間內(nèi)收集的離子的質(zhì)量M₀為$\frac{I}{q}$[α﹒m+（1-α） m′]．

點(diǎn)評 了解研究對象的運(yùn)動(dòng)過程是解決問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題．找出圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，列出等式解決問題．