Question

19．我國發(fā)射的“嫦娥三號”探月衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用時間為t，如圖所示．已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g₁，引力常量為G．試求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的第一宇宙速度v₁；
（3）“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度h．

Answer 1

分析 在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，化簡可得月球的質(zhì)量．
根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，可計算出近月衛(wèi)星的速度，即月球的第一宇宙速度．
根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，結(jié)合周期和軌道半徑的關(guān)系，可計算出衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）月球表面處引力等于重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₁，
得：M=$\frac{{{g}_{1}R}^{2}}{G}$  
（2）第一宇宙速度為近月衛(wèi)星運(yùn)行速度，由萬有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以月球第一宇宙速度為：v=$\sqrt{{g}_{1}R}$
（3）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
衛(wèi)星周期為：T=$\frac{t}{n}$
軌道半徑為：r=R+h
解得：h=$\root{3}{\frac{{{{g}_{1}R}^{2}t}^{2}}{{{4n}^{2}π}^{2}}}$-R
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{{{g}_{1}R}^{2}}{G}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$\sqrt{{g}_{1}R}$；
（3）“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{{{{g}_{1}R}^{2}t}^{2}}{{{4n}^{2}π}^{2}}}$-R；

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個重要的關(guān)系，要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．