Question

11．拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖）．設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ．
（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小．
（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ．已知存在一臨界角θ₀，若θ≤θ₀，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．求這一臨界角的正切tanθ₀．

Answer 1

分析 （1）對(duì)拖把頭受力分析，抓住豎直方向和水平方向合力為零，運(yùn)用正交分解求出推力F的大�。�
（2）當(dāng)推力F的水平分力小于等于最大靜摩擦力時(shí)，不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．結(jié)合第1問(wèn)的結(jié)果，得到λ的表達(dá)式，采用極限法：當(dāng)F無(wú)限大時(shí)的情況求解tanθ₀．

解答 解：（1）拖把頭受到重力、支持力、推力和摩擦力處于平衡，設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把．
將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，
按平衡條件有
豎直方向上：Fcosθ+mg=N…①
水平方向上：Fsinθ=f…②
式中N和f分別為地板對(duì)拖把的正壓力和摩擦力．按摩擦定律有 f=μN(yùn)…③
聯(lián)立①②③式得 $F=\frac{μ}{sinθ-μcosθ}mg$…④
（2）若不管沿拖桿方向用多大的力不能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，
應(yīng)有Fsinθ≤λ N…⑤
這時(shí)①式仍滿(mǎn)足．聯(lián)立①⑤式得 sinθ-λcosθ≤λ$\frac{mg}{F}$…⑥
現(xiàn)考察使上式成立的θ角的取值范圍．注意到上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無(wú)限大時(shí)極限為零，
有sinθ-λcosθ≤0…⑦
使上式成立的θ角滿(mǎn)足θ≤θ₀，這里θ₀是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ₀時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把．
臨界角的正切為tanθ₀=λ…⑧
答：（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，推拖把的力的大小為$\frac{μ}{sinθ-μcosθ}mg$．
（2）tanθ₀=λ．

點(diǎn)評(píng) 本題第1問(wèn)是常規(guī)題，根據(jù)平衡條件，運(yùn)用正交分解法求解推力．第2問(wèn)是一種自鎖現(xiàn)象，根據(jù)推不動(dòng)的條件：推力的水平分力不大于最大靜摩擦力出發(fā)進(jìn)行分析求解．