Question

7．我又突發(fā)奇想，如圖把子彈換成多個小木塊，把木塊換成長木板，如圖所示，一塊足夠長的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序號是1、2、3、…、n的木塊，所以木塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ，木板的質(zhì)量與所有木塊的總質(zhì)量相等．在t=0時刻木板靜止，第1、2、3、…、n號木塊的初速度分別為 v₀、2 v₀、3 v₀、…、n v₀，方向都向右，最終所有木塊與木板以共同速度勻速運動，試求：
（1）所有木塊與木板一起勻速運動的速度 v_n；
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運動經(jīng)歷的時間t；
（3）第（n-1）號木塊在整個運動過程中的最小速度 v_n-1．

Answer 1

分析 （1）A、B、C三個物體組成的系統(tǒng)，所受合外力為零，系統(tǒng)的動量守恒，根據(jù)動量守恒定律求出最終A、B、C的共同速度．
（2）根據(jù)動量守恒定律和動量定理研究，求出A與C剛相對靜止時B的速度．
（3）對系統(tǒng)應(yīng)用動量守恒定律，對最后兩個木塊應(yīng)用動量定理可以求出第n-1個木塊的最小速度．

解答 解：（1）木塊與木板組成的系統(tǒng)動量守恒，以木塊的初速度方向為正方向，對系統(tǒng)，由動量守恒定律得：
   m（v₀+2 v₀+3 v₀+…+n v₀）=2nm v_n
解得：$v_n=\frac{{（{n+1}）v_0}}{4}$；
（2）第n號木塊始終做勻減速運動，所以對第n號木塊，由動量定理得：
-μmgt=m v_n-mn v₀
解得：$t=\frac{{（{3n-1}）v_0}}{4μg}$；
（3）第（n-1）號木塊與木板相對靜止時，它在整個運動過程中的速度最小，設(shè)此時第n號木塊的速度為v，對系統(tǒng)，由動量守恒定律：m（ v₀+2 v₀+3 v₀+…+n v₀）=（2n-1）m v_n-1+mv
對第（n-1）號木塊，由動量定理得：-μmg t′=m v_n-1-m（n-1）v₀
對第n號木塊，由動量定理得：-μmg t′=mv-mn v₀．
由以上三式解得：v_n-1=$\frac{（n-1）（n+2）{v}_{0}}{4n}$．
答：
（1）所有木塊與木板一起勻速運動的速度v_n是$\frac{（n+1）{v}_{0}}{4}$．
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運動經(jīng)歷的時間t是$\frac{（3n-1）{v}_{0}}{4μg}$；
（3）第（n-1）號木塊在整個運動過程中的最小速度 v_n-1是$\frac{（n-1）（n+2）{v}_{0}}{4n}$．

點評 本題的運動過程比較復(fù)雜，研究對象比較多，按程序法進(jìn)行分析，分段運用動量守恒定律和動量定理列式處理．