Question

7．我又突發(fā)奇想，如圖把子彈換成多個(gè)小木塊，把木塊換成長(zhǎng)木板，如圖所示，一塊足夠長(zhǎng)的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序號(hào)是1、2、3、…、n的木塊，所以木塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，木板的質(zhì)量與所有木塊的總質(zhì)量相等．在t=0時(shí)刻木板靜止，第1、2、3、…、n號(hào)木塊的初速度分別為 v₀、2 v₀、3 v₀、…、n v₀，方向都向右，最終所有木塊與木板以共同速度勻速運(yùn)動(dòng)，試求：
（1）所有木塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度 v_n；
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t；
（3）第（n-1）號(hào)木塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度 v_n-1．

Answer 1

分析 （1）A、B、C三個(gè)物體組成的系統(tǒng)，所受合外力為零，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出最終A、B、C的共同速度．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量定理研究，求出A與C剛相對(duì)靜止時(shí)B的速度．
（3）對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，對(duì)最后兩個(gè)木塊應(yīng)用動(dòng)量定理可以求出第n-1個(gè)木塊的最小速度．

解答 解：（1）木塊與木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以木塊的初速度方向?yàn)檎�方向，�?duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：
   m（v₀+2 v₀+3 v₀+…+n v₀）=2nm v_n
解得：$v_n=\frac{{（{n+1}）v_0}}{4}$；
（2）第n號(hào)木塊始終做勻減速運(yùn)動(dòng)，所以對(duì)第n號(hào)木塊，由動(dòng)量定理得：
-μmgt=m v_n-mn v₀
解得：$t=\frac{{（{3n-1}）v_0}}{4μg}$；
（3）第（n-1）號(hào)木塊與木板相對(duì)靜止時(shí)，它在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度最小，設(shè)此時(shí)第n號(hào)木塊的速度為v，對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律：m（ v₀+2 v₀+3 v₀+…+n v₀）=（2n-1）m v_n-1+mv
對(duì)第（n-1）號(hào)木塊，由動(dòng)量定理得：-μmg t′=m v_n-1-m（n-1）v₀
對(duì)第n號(hào)木塊，由動(dòng)量定理得：-μmg t′=mv-mn v₀．
由以上三式解得：v_n-1=$\frac{（n-1）（n+2）{v}_{0}}{4n}$．
答：
（1）所有木塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度v_n是$\frac{（n+1）{v}_{0}}{4}$．
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t是$\frac{（3n-1）{v}_{0}}{4μg}$；
（3）第（n-1）號(hào)木塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度 v_n-1是$\frac{（n-1）（n+2）{v}_{0}}{4n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的運(yùn)動(dòng)過(guò)程比較復(fù)雜，研究對(duì)象比較多，按程序法進(jìn)行分析，分段運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量定理列式處理．