Question

20．“嫦娥奔月”的過程可簡化為：“嫦娥一號”升空后，繞地球沿橢圓軌道運動，遠地點A距地面高度h₁，然后經過變軌被月球捕獲，再經過多次變軌，最終在距離月球表面h₂的軌道上繞月球做勻速圓周運動（引力常量為G）．
（1）已知地球半徑為R₁，表面的重力加速度為g，求“嫦娥一號”在遠地點A處的加速度a；
（2）已知“嫦娥一號”繞月運行的周期T，半徑為R₂，求月球的質量．

Answer 1

分析 （1）嫦娥一號受到合力為地球的萬有引力，由牛頓第二定律可以求出A點處的加速度．
（2）月球對嫦娥一號的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出月球的質量．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：
對嫦娥一號衛(wèi)星：ma=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=G$\frac{Mm}{（{R}_{1}+{h}_{1}）^{2}}$，
在地球表面的物體mg₀=G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$，
解得：a=$\frac{{R}_{1}^{2}{g}_{0}}{（{R}_{1}+{h}_{1}）^{2}}$；
（2）月球的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G $\frac{Mm}{（{R}_{2}^{\;}+{h}_{2}）^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R₂+h₂），
解得：M=$\frac{4{π}^{3}（{R}_{2}+{h}_{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$
答：（1）“嫦娥一號”在遠地點A處的加速度a為$\frac{{R}_{1}^{2}{g}_{0}}{{（{R}_{1}+{h}_{1}）}^{2}}$；
（2）月球的質量為$\frac{4{π}^{3}{（{R}_{2}+{h}_{2}）}^{3}}{G{T}^{2}}$．

點評 萬有引力等于重力，萬有引力提供向心力，由萬有引力定律及牛頓第二定律可以正確解題．