Question

【題目】如圖，A、C兩點(diǎn)分別位于x軸和y軸上，∠OCA=30°，OA的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。在△OCA區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以平行于y軸的方向從OA邊射入磁場(chǎng)。已知粒子從某點(diǎn)射入時(shí)，恰好垂直于OC邊射出磁場(chǎng)，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0。不計(jì)重力。

①求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
②若粒子先后從兩不同點(diǎn)以相同的速度射入磁場(chǎng)，恰好從OC邊上的同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求該粒子這兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和；
③若粒子從某點(diǎn)射入磁場(chǎng)后，其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC邊相切，且在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 ，求粒子此次入射速度的大小。

Answer 1

【答案】解：①粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間 內(nèi)其速度方向改變了 ，故其周期： ①設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，粒子速度為 v ，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r ，由洛倫茲力公式和牛頓定律得：
②
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度滿足： ③
聯(lián)立①②③式得： ④
②設(shè)粒子從OA變兩個(gè)不同位置射入磁場(chǎng)，能從OC邊上的同一點(diǎn)P射出磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖（a）所示：

設(shè)兩軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為 和 。由幾何關(guān)系有： ⑤粒子兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為 t1 與 t2 ，則： ⑥③如圖（b），由題給條件可知，該粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為 。設(shè) 為圓弧的圓心，圓弧的半徑為 r0 ，圓弧與AC相切與B點(diǎn)，從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系和題給條件可知，此時(shí)有
⑦

⑧
設(shè)粒子此次入射速度的大小為 v0 ，由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律： ⑨
聯(lián)立①⑦⑧⑨式得：
⑩
【解析】（1）粒子垂直O(jiān)A進(jìn)入磁場(chǎng)中，轉(zhuǎn)過(guò)90°，垂直打在y軸上，則 ，求出周期，由周期公式T= 求B的大�。�（2）畫出兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為θ1和θ2 ， 由幾何關(guān)系有θ1=180°-θ2 ， 可得到時(shí)間之和等于 ．（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)知道，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差△t與△θ=θ2-θ1成正比，只要求出△θ的最大值，即可求得θ2的最大值．由△t= T和已知條件△tmax= ，聯(lián)立可求出θ2的最大值，再結(jié)合幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律，利用洛倫茲力等于向心力，列式求解速度．