Question

6．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是我們研究過(guò)的一種典型運(yùn)動(dòng)方式．
（1）一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做機(jī)械振動(dòng)，如果它的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移大小成正比，而且方向與位移方向相反，就能判定它是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．如圖1所示，將兩個(gè)勁度系數(shù)分別為k₁和k₂的輕質(zhì)彈簧套在光滑的水平桿上，彈簧的兩端固定，中間接一質(zhì)量為m的小球，此時(shí)兩彈簧均處于原長(zhǎng)．現(xiàn)將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O(shè)為平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)你據(jù)此證明，小球所做的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
（2）以上我們是以回復(fù)力與偏離平衡位置的位移關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．但其實(shí)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)也具有一些其他特征，如簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關(guān)系就都可以表示為v²=v₀²-ax²，其中v₀為振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)平衡位置時(shí)的瞬時(shí)速度，a為由系統(tǒng)本身和初始條件所決定的不變的常數(shù)．請(qǐng)你證明，圖2中小球的運(yùn)動(dòng)也滿足上述關(guān)系，并說(shuō)明其關(guān)系式中的a與哪些物理量有關(guān)．已知彈簧的彈性勢(shì)能可以表達(dá)為$\frac{1}{2}k{x^2}$，其中k是彈簧的勁度系數(shù)，x是彈簧的形變量．
（3）一質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛞运俣葀₀做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．請(qǐng)結(jié)合第（2）問(wèn)中的信息，分析論證小球在x方向上的分運(yùn)動(dòng)是否符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)這一特征．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律即可寫出出小球偏離平衡位置的位移大小為x時(shí)合外力F_合的表達(dá)式；
（2）根據(jù)小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能守恒即可寫出；
（3）將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)沿坐標(biāo)軸的x方向與y方向分解，結(jié)合速度的分解關(guān)系即可證明．

解答 證明：（1）若小球向右偏離的位移為x，選取向右為正方向，由胡克定律可得，小球受到的合外力：F_合=-（k₁+k₂）x
由于k₁和k₂都是常數(shù)，所以小球受到的合外力與位移成正比，小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．
（2）小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中的機(jī)械能包括小球的動(dòng)能與彈簧的彈性勢(shì)能，小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，設(shè)小球偏離O點(diǎn)的最大位移為A，則通過(guò)平衡位置時(shí)：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}{k}_{1}{A}^{2}+\frac{1}{2}{k}_{2}{A}^{2}$
若小球向右偏離的位移為x時(shí)的速度為v，則：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}{k}_{1}{x}^{2}+\frac{1}{2}{k}_{2}{x}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
即：${v}^{2}={v}_{0}^{2}-（{k}_{1}+{k}_{2}）{x}^{2}$=${v}_{0}^{2}-a{x}^{2}$
可知其中a等于兩個(gè)彈簧的勁度系數(shù)的和，初速度的大小與開始時(shí)的振幅有關(guān)．
（3）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)水平方向的位移為x時(shí)，質(zhì)點(diǎn)速度與x軸之間的夾角設(shè)為θ，將質(zhì)點(diǎn)的速度沿x軸方向與y軸方向分解如圖，則：

v_y=v₀cosθ
而：$cosθ=\frac{x}{R}$
根據(jù)合速度與分速度的關(guān)系可知：${v}_{0}^{2}={v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}$
整理可得：${v}_{x}^{2}={v}_{0}^{2}-{v}_{0}^{2}•\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}={v}_{0}^{2}-\frac{{v}_{0}^{2}}{{y}^{2}}•{x}^{2}$=${v}_{0}^{2}-a{x}^{2}$
可知小球在x方向上的分運(yùn)動(dòng)符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)這一特征．
證畢．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，涉及的數(shù)學(xué)的知識(shí)比較多，在證明的過(guò)程中要注意知識(shí)的遷移．