Question

1．如圖所示，粗糙軌道AB和兩個光滑半圓軌道組成的S形軌道．光滑半圓軌道半徑為R，兩個光滑半圓軌道連接處CD之間留有很小空隙，剛好能夠使小球通過，CD之間距離可忽略，粗糙軌道最高點A與水平面上B點之間的高度為5R．從A點靜止釋放一個可視為質(zhì)點的小球，小球沿S形軌道恰好運動到最高點E后且從E點水平飛出．已知小球質(zhì)量m，不計空氣阻力，求：
（1）小球落點到與E點在同一豎直線上B點的距離x為多少；
（2）小球運動到半圓軌道的B點時對軌道的壓力；
（3）小球從A至E運動過程中克服摩擦阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球沿S形軌道恰好運動到最高點E時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過E點的速度．小球從E點飛出做平拋運動，根據(jù)高度求出運動的時間，再求水平位移x．
（2）在B點，沿半徑方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對球的彈力，從而根據(jù)牛頓第三定律求出小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）小球從A至E運動過程中，根據(jù)動能定理求出小球沿軌道運動過程中克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）設小球從E點水平飛出時的速度大小為v_E
恰好到達E點時，有 mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
得 v_E=$\sqrt{gR}$
從E點水平飛出做平拋運動，由平拋運動規(guī)律：x=v_Et
  4R=$\frac{1}{2}$gt²
聯(lián)立解得 x=2$\sqrt{2}$R
（2）小球從B點運動到E點的過程，由機械能守恒定律：
  mg•4R+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得 v_B=3$\sqrt{gR}$
在B點，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F=10mg
由牛頓第三定律知小球運動到B點時對軌道的壓力大小為 F′=F=10mg，方向豎直向下．
（3）設小球沿S形軌道運動時克服摩擦力做的功為W_f，A→E的過程，由動能定理得：
 mg（5R-4R）-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
得：W_f=$\frac{1}{2}$mgR
答：
（1）小球落點到與E點在同一豎直線上B點的距離x為$\sqrt{gR}$；
（2）小球運動到半圓軌道的B點時對軌道的壓力是10mg，方向豎直向下；
（3）小球從A至E運動過程中克服摩擦阻力做的功是$\frac{1}{2}$mgR．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清運動的過程，抓住每個過程和狀態(tài)的規(guī)律，綜合運用牛頓定律、運動學規(guī)律和動能定理進行解題．