Question

某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來(lái)研究碰撞問(wèn)題，其模型如題25圖所示不用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3……N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k＜1.將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無(wú)機(jī)械能損失的正碰.(不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長(zhǎng)，

g取10 m/s²)

(1)設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為v_n,求n+1號(hào)球碰撞后的速度.

(2)若N＝5,在1號(hào)球向左拉高h(yuǎn)的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16k(16 h小于繩長(zhǎng))問(wèn)k值為多少？

Answer 1

(1)設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m,n+1，碰撞后的速度分別為取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為v_n、0、m_n+1

根據(jù)動(dòng)量守恒，有                  (1)

根據(jù)機(jī)械能守恒，有=          (2)   

由（1）、(2)得

設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為E_n+1

據(jù)題意有v_n-1=

得v_n-1==                                       (3)

（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₁,由機(jī)械能守恒定律有

                                         (4)

v₁=                                              (5)

同理可求，5號(hào)球碰后瞬間的速度

                                        (6)

由(3)式得                        (7)

N=n=5時(shí)，v₅=                         (8)

由(5)、(6)、(8)三式得

k=                          （9）

（3）設(shè)繩長(zhǎng)為l,每個(gè)球在最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)球的拉力為F,由牛頓第二定律有

                                            (10)

則            (11)

（11）式中E_kn為n號(hào)球在最低點(diǎn)的動(dòng)能

由題意1號(hào)球的重力最大，又由機(jī)械能守恒可知1號(hào)球在最低點(diǎn)碰前的動(dòng)能也最大，根據(jù)（11）式可判斷在1號(hào)球碰前瞬間懸掛1號(hào)球細(xì)繩的張力最大，故懸掛1號(hào)球的繩最容易斷.