Question

19．如圖所示的光滑管道裝置，OA部分水平，AB部分豎直，水平管道BC部分正繞過B點(diǎn)的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其余部分均固定，若干緊挨的組成長(zhǎng)度為2l的相同光滑小球由右端勻速進(jìn)入OA部分，并依次通過AB段和BC段，小球在拐角處轉(zhuǎn)向時(shí)無動(dòng)能損失，某時(shí)刻，A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)小球，且B點(diǎn)的小球除外，AB段和BC段恰好都有n個(gè)小球，情景如圖所示，B點(diǎn)距水平地面的高度為$\frac{9}{4}$l，重力加速度為g，
（1）求小球進(jìn)入OA細(xì)管時(shí)的速率
（2）求小球的半徑
（3）如果全部小球恰好能在BC管勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)飛出出口C，最終均勻落于水平地面的某一圓周上，求小球落地時(shí)的速率（π²取10）

Answer 1

分析 （1）由題：AB段和BC段小球數(shù)目相等，所以小球通過兩段的時(shí)間相等．小球在BC管方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在AB段做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移公式分別列式，即可求解小球進(jìn)入OA細(xì)管時(shí)的速率．
（2）求出每?jī)蓚�(gè)小球時(shí)間間隔，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解小球的半徑．
（3）小球飛出C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，每個(gè)小球用時(shí)相等，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合解答．

解答 解：（1）設(shè)小球進(jìn)入AB前速率為v_A，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速率為v_B，由于AB段和BC段小球數(shù)目相等，所以小球通過兩段的時(shí)間相等．設(shè)為t．
小球在BC管方向做勻速運(yùn)動(dòng)，則有 l=v_Bt
在AB段做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有 v_B=v_A+gt
  且有 $\frac{{v}_{A}+{v}_{B}}{2}t$=$\frac{4}{5}$l
聯(lián)立解得 v_A=3$\sqrt{\frac{gl}{10}}$，t=2$\sqrt{\frac{l}{10g}}$，v_B=5$\sqrt{\frac{gl}{10}}$
即小球進(jìn)入OA細(xì)管時(shí)的速率v_A=3$\sqrt{\frac{gl}{10}}$
（2）每?jī)蓚�(gè)小球的時(shí)間間隔設(shè)為△t，滿足：l=n△t
設(shè)小球的半徑為r，滿足：
  r=v_A$\frac{△t}{2}$
解得 r=$\frac{3l}{10n}$
（3）小球恰好落于圓周上且不重復(fù)，設(shè)BC轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T，周期T與小球全部通過同一點(diǎn)的用時(shí)相等，取點(diǎn)A研究即可：
  T=$\frac{2l}{{v}_{A}}$
設(shè)小球在C點(diǎn)時(shí)速率為v_C，由矢量疊加關(guān)系有：
  ${v}_{C}^{2}$=${v}_{B}^{2}$+$（\frac{2πl(wèi)}{T}）^{2}$
小球到達(dá)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)落地時(shí)速率為v_D，小球質(zhì)量為m，由機(jī)械能守恒定律得
  mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得 v_D=4$\sqrt{gl}$
答：
（1）小球進(jìn)入OA細(xì)管時(shí)的速率是3$\sqrt{\frac{gl}{10}}$．
（2）小球的半徑是$\frac{3l}{10n}$．
（3）小球落地時(shí)的速率是4$\sqrt{gl}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要靈活選取研究的過程和研究對(duì)象，抓住圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，靈活運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解答．