Question

如圖，將質(zhì)量m=2kg的圓環(huán)套在與水平面成θ=37°角的足夠長直桿上，直桿固定不動，環(huán)的直徑略大于桿的截面直徑，桿上依次有三點(diǎn)A、B、C，s_AB=8m，s_BC=0.6m，環(huán)與桿間動摩擦因數(shù)μ=0.5，對環(huán)施加一個(gè)與桿成37°斜向上的拉力F，使環(huán)從A點(diǎn)由靜止開始沿桿向上運(yùn)動，已知t=4s時(shí)環(huán)到達(dá)B點(diǎn)．試求：（重力加速度g=l0m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）F的大�。�
（2）若到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去力F，則環(huán)到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)位移時(shí)間公式求出加速度，然后對環(huán)受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律列方程求解；
（2）撤去力F后后對環(huán)受力分析，受重力、支持力和摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律列方程求解出環(huán)的加速度拉力a，再根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系求得經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t，到達(dá)C的過程分為兩部分，一為勻減速上升時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，二是到達(dá)最高點(diǎn)后再加速下滑時(shí)經(jīng)過C點(diǎn)，故時(shí)間有兩個(gè)答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，環(huán)做勻加速直線運(yùn)動，則有a1=

2SAB

t2

=1m/s²，對環(huán)進(jìn)行受力分析有：
若Fsin37°＜mgcos37°桿對環(huán)的彈力垂直于桿向上，如圖：

則有：N+Fsin37°=mgcos37°      ①
Fcos37°-μN(yùn)-mgsin37°=ma        ②
聯(lián)立①②代入數(shù)據(jù)可得：F=20N；
若Fsin37°＞mgcos37°村對環(huán)的彈力垂直于桿向下，如圖：

則有：Fsin37°=mgcos37°+N     ③
Fcos37°-μN(yùn)-mgsin37°=ma       ④
聯(lián)立③④代入數(shù)據(jù)可得：F=12N  （舍去，不合Fsin37°＞mgcos37°要求）
所以F的大小為20N
（2）撤去力F后對環(huán)進(jìn)行受力分析有：

由題意物體4s后的速度為v=a₁t=4m/s
此時(shí)環(huán)所受的合力F_合1=μmgcos37°+mgsin37°=ma₂        ⑤
代入數(shù)據(jù)得a2=μgcos37°+gsin37°=10m/s2，
環(huán)向上做初速度為4m/s的勻減速直線運(yùn)動，故以沿桿向上為正方向，則a2=-10m/s2，所以環(huán)停止運(yùn)動的時(shí)間為
t停=

0-v

a2

=

0-4

-10

s=0.4s
環(huán)上升的最大位移xmax=

0-v2

2a2

=

0-42

2×(-10)

m=0.8m
根據(jù)則環(huán)向上勻減速運(yùn)動經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)由位移時(shí)間關(guān)系得：SBC=vt+

1

2

a2t2代入數(shù)據(jù)得：t=0.2s，另一值不合題意舍去．
當(dāng)環(huán)運(yùn)動到最高點(diǎn)，將再次向下勻加速運(yùn)動，則環(huán)在下滑過程中受到的合力為F_合2=mgsin37°-μmgcos37°根據(jù)牛頓第二定律得，此時(shí)下滑的加速度
a₃=gsin37°-μgcos37°=2m/s²
環(huán)最高點(diǎn)離B0.8m，則環(huán)加速下滑過程中經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)相對于最高點(diǎn)的位移x₃=0.2m根據(jù)初速度為為的勻加速直線運(yùn)動位移時(shí)間關(guān)系得環(huán)下滑時(shí)間t₃=

2x3 a3

=

2×0.2 2

s=

5

5

s
則從B點(diǎn)計(jì)時(shí)，小球經(jīng)過C點(diǎn)的時(shí)間t=t_停+t₃=0.4S+

5

5

s=

2+ 5

5

s
答：（1）F的大小為20N；
（2）若到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去力F，則環(huán)到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間0.2s或

2+ 5

5

s．

點(diǎn)評：掌握解決動力學(xué)兩類基本問題的方法和思路：一已知物體的運(yùn)動求物體的受力，二是已知物體的受力求物體的運(yùn)動情況．解決這兩類問題的關(guān)鍵是橋梁根據(jù)牛頓第二定律求出加速度a．