Question

18．為了探測(cè)X星球，載著登陸艙的探測(cè)飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T₁，總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m₂．則（　　）

• A． 登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{{{m_1}{r_2}}}{{{m_2}{r_1}}}}$
• B． 登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為${T_2}={T_1}\sqrt{\frac{{{r_2}^3}}{{{r_1}^3}}}$
• C． X星球表面的重力加速度為${g_x}=\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$
• D． X星球的質(zhì)量為$M=\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$

Answer 1

分析 研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過(guò)不同的軌道半徑進(jìn)行比較

解答 解：A、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動(dòng)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得出$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，r為運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}}$，故A錯(cuò)誤；
B、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=\frac{GM}{4{π}_{\;}^{2}}$，所以有$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，${T}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}{T}_{1}^{\;}$，故B正確；
C、根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，只能表示在半徑為r₁的圓軌道上向心加速度，而不等于X星球表面的重力加速度，故C錯(cuò)誤．
D、研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則有$G\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$，得X星球的質(zhì)量為$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故D正確
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 求一個(gè)物理量之比，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來(lái)，再進(jìn)行之比．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．