Question

8．滑板項(xiàng)目可謂是極限運(yùn)動(dòng)歷史的鼻祖，許多的極限運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目均由滑板項(xiàng)目延伸而來(lái)，如圖所示，滑板軌道BC為豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧賽道，半徑為R=1.8m，軌道ABC可認(rèn)為光滑，且水平軌道AB與圓弧BC在B點(diǎn)相切，一個(gè)質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀沖上靜止在A點(diǎn)的滑板（可視為質(zhì)點(diǎn)），設(shè)運(yùn)動(dòng)員蹬上滑板后立即與滑板一起共同沿著軌道運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量M=48.0kg，滑板質(zhì)量m=2.0kg，計(jì)算結(jié)果均保留三位有效數(shù)字，重力加速度g取值10m/s²，（不計(jì)空氣阻力）．求：
（1）運(yùn)動(dòng)員至少以多大的水平速度v₀沖上滑板才能達(dá)到C點(diǎn)
（2）以第一問速度v₀沖滑板，滑過圓弧形軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力
（3）若A點(diǎn)右側(cè)為μ=0.3的水泥地面，則滑回后運(yùn)動(dòng)員與滑板停在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)動(dòng)員和滑板從A運(yùn)動(dòng)到C的過程，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求在A點(diǎn)的速度，運(yùn)動(dòng)員沖上滑板的過程中，動(dòng)量守恒，以初速度方向?yàn)檎�，根�?jù)動(dòng)量守恒定律列式求解即可．
（2）在C點(diǎn)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，從而得到壓力．
（3）對(duì)運(yùn)動(dòng)員從C點(diǎn)滑下到停止運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求滑板在A點(diǎn)右側(cè)滑行的距離．

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)員和滑板從A運(yùn)動(dòng)到C的過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒定律，則有
$\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{A}}^{2}$=（M+m）gR
解得 v_A=$\sqrt{2gR}$=6m/s
運(yùn)動(dòng)員沖上滑板的過程中，動(dòng)量守恒，以初速度方向?yàn)檎�，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v_A
解得：v₀=6.25m/s
（2）運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度 v_B=v_A=6m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得
N-（M+m）g=（M+m）$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得 N=1500N
由牛頓第三定律知，運(yùn)動(dòng)員滑過圓弧形軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為1500N，方向豎直向下．
（3）設(shè)滑回后運(yùn)動(dòng)員與滑板停在距A點(diǎn)的距離為x．
對(duì)運(yùn)動(dòng)員從C點(diǎn)滑下到停止運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
（M+m）gR-μ（M+m）gx=0
解得 x=6m
答：
（1）運(yùn)動(dòng)員至少以6.25m/s的水平速度v₀沖上滑板才能達(dá)到C點(diǎn)；
（2）以第一問速度v₀運(yùn)動(dòng)，滑過圓弧形軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為1500N，方向豎直向下；
（3）若A點(diǎn)右側(cè)為μ=0.3的水泥地面，則滑回后運(yùn)動(dòng)員與滑板停在距A點(diǎn)6m的距離．

點(diǎn)評(píng) 本題要分段進(jìn)行分析，圓弧段運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，水平軌道上A點(diǎn)右側(cè)段運(yùn)用動(dòng)能定理．從C到停止運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程也可以運(yùn)用動(dòng)能定理．