Question

12．一質點在Oxy平面內做曲線運動，已知a_x=2，a_y=12t²（單位：m•s^-2）．設質點在t=0時，r₀=0，v₀=0．求質點的：
（1）運動方程；
（2）軌跡方程；
（3）切向加速度．

Answer 1

分析 （1）已知運動的加速度、初速度，分別寫出沿兩個方向的方程即可．
（2）將兩個方程中的參量t約掉，得到軌跡方程；
（3）由矢量的合成可知，切向加速度為兩個分方向的加速度的矢量合，由此即可求出．

解答 解：（1）由于在t=0時，r₀=0，v₀=0．可知物體開始時位于坐標原點，初速度等于0；
x方向：v_x=a_xt=2tm/s，$x=\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}={t}^{2}$m
y方向：${v}_{y}={a}_{y}t=12{t}^{3}$m/s，y=$\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}=6{t}^{4}$m
（2）其軌跡方程：y=6t⁴=6（t²）²=6x²m
可知其軌跡方程為拋物線方程
（3）切向加速度為兩個分方向的加速度的矢量合，即：a=$\sqrt{{a}_{x}^{2}+{a}_{y}^{2}}$
聯(lián)立可得：a=$2\sqrt{1+36{t}^{4}}$m/s²
答：（1）運動方程為：x方向：v_x=a_xt=2tm/s，$x=\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}={t}^{2}$m
y方向：${v}_{y}={a}_{y}t=12{t}^{3}$m/s，y=$\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}=6{t}^{4}$m；
（2）軌跡方程為y=6x²；
（3）切向加速度為$2\sqrt{1+36{t}^{4}}$m/s²．

點評 該題屬于競賽題目，解答的關鍵是正確理解參數(shù)方程的物理意義，能結合參數(shù)方程分析質點的運動是解答的關鍵．