Question

18．如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直于紙面向里．x軸下方有一勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E、方向與y軸的夾角θ=45°斜向上方．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運(yùn)動一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)（圖中未畫出）進(jìn)入電場區(qū)域，離子經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與電場方向相反．設(shè)磁場和電場區(qū)域均足夠大，不計(jì)離子的重力，求：

（1）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第一次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動時(shí)間；
（2）C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小及速度方向與電場方向的夾角．并大致畫出離子前四次穿越x軸在磁場和電場區(qū)域中的運(yùn)動軌跡．

Answer 1

分析 （1、2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．畫出粒子運(yùn)動的軌跡，由幾何知識求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)運(yùn)動軌跡的幾何關(guān)系，來確定圓心角，并結(jié)合周期公式求解運(yùn)動時(shí)間；
（3）根據(jù)粒子做類平拋運(yùn)動處理規(guī)律，由運(yùn)動的分解，并結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）磁場中帶電粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動，如圖所示：
粒子做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{Bq}$，
粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為$α=\frac{5}{4}π$，
設(shè)粒子從A到C的時(shí)間為t₁，由幾何知識知可知：t₁=$\frac{\frac{5}{4}π}{2π}T=\frac{5πm}{4Bq}$，
（2）由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，
由幾何知識知，C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離x_C=（r+rcos45°）=$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，
（3）粒子第一次經(jīng)過x軸后做勻減速直線運(yùn)動，速度減為零后又做勻加速直線運(yùn)動，以和離開時(shí)相同的速率第二次進(jìn)入磁場，然后做勻速圓周運(yùn)動，離子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程在電場中做類平拋運(yùn)動，
設(shè)沿著v₀的方向?yàn)閤′軸，離子沿x′軸做勻速直線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示：
設(shè)沿著電場的方向?yàn)閥′軸，離子沿y′軸做初速為零的勻變速直線運(yùn)動x₁=v₀t①
${y}_{1}=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}{t}^{2}$②
${v}_{y}′=\frac{Eq}{m}t$③
由圖中幾何關(guān)系知$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=tan45°$④
設(shè)離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為v，速度方向與電場方向的夾角為β，$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{v}_{y}{′}^{2}}$⑤，
$tanβ=\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$⑥
由①～⑥式得$v=\sqrt{5}{v}_{0}$，$β=arctan\frac{1}{2}$．
答：（1）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第一次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動時(shí)間為$\frac{5πm}{4Bq}$；
（2）C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為$\sqrt{5}{v}_{0}$，速度方向與電場方向的夾角為$arctan\frac{1}{2}$．離子前四次穿越x軸在磁場和電場區(qū)域中的運(yùn)動軌跡如圖所示．

點(diǎn)評 考查粒子做勻速圓周運(yùn)動與類平拋運(yùn)動，掌握牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)公式，理解圓周運(yùn)動的半徑公式與周期公式，掌握幾何關(guān)系在題中的應(yīng)用．