Question

3．船在200m寬的河中橫渡，水流速度為3m/s，船在靜水中的航行速度是4m/s，求，
（1）要使船以最短時間過河，船頭方向應如何？最短時間為多少？
（2）要使船以最短距離過河，應如何行駛，過河時間多長？
（3）若河水流速一定，使船沿與下游成30°夾角的直線從A航行到B，船頭航向應如何才能使船的航行速度最��？最小航速多大？
（4）若水流速度是4m/s，船在靜水中的航行速度是3m/s，求船渡河的最小位移．

Answer 1

分析 （1）當船頭的方向與河岸垂直時，渡河時間最短，根據(jù)等時性求出渡河的時間，
（2）當合速度的方向與河岸垂直時，渡河路程最短，根據(jù)平行四邊形定則求出靜水速的方向．通過平行四邊形定則求出合速度的大小，從而得出渡河的時間．
（3）根據(jù)運動的合成，結合水流速度，與三角知識，即可求解；
（4）當合速度的方向與靜水速的方向垂直時，渡河位移最短，從而即可求解．

解答 解：（1）船頭的方向與河岸垂直時，渡河時間最短，即t=$\frac261ze4f{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$s=50s．
（2）當合速度方向與河岸垂直時，渡河路程最短．如圖，cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{4}$
即船頭的方向與河岸所成夾角余弦為$\frac{3}{4}$，偏向上游行駛．
v_合=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$m/s=$\sqrt{7}$m/s
則t′=$\fracuoytw0i{{v}_{合}}$=$\frac{200}{\sqrt{7}}$s=$\frac{200\sqrt{7}}{7}$s．
（3）若河水流速一定，使船沿與下游成30°夾角的直線從A航行到B，
當船頭航向與合速度垂直時，航行速度最��；

最小速度v_c′=v_ssin30°=4×$\frac{1}{2}$=2m/s；
（4）因為不能垂直渡河，所以當合速度的方向與靜水速的方向垂直，渡河位移最短，
設此時合速度的方向與河岸的夾角為θ，sinθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{3}{4}$，
則渡河的最小位移x=$\fraco8paufe{sinθ}$=$\frac{200}{\frac{3}{4}}$m=$\frac{800}{3}$ m．
答：（1）要使船以最短時間過河，船頭方向應垂直河岸，最短時間為50s；
（2）要使船以最短距離過河，應偏上游夾角為與河岸所成夾角余弦為$\frac{3}{4}$，過河時間$\frac{200\sqrt{7}}{7}$s；
（3）若河水流速一定，使船沿與下游成30°夾角的直線從A航行到B，船頭航向如圖所示，才能使船的航行速度最小，最小航速2m/s；
（4）若水流速度是4m/s，船在靜水中的航行速度是3m/s，船渡河的最小位移$\frac{800}{3}$ m．

點評 解決本題的關鍵知道合運動與分運動具有等時性，當靜水速與河岸垂直，渡河時間最短；當合速度與河岸垂直，渡河航程最短．