Question

3．如圖所示，質(zhì)量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，A的右端放質(zhì)量為2m的小鉛塊B，A，B之間的動摩擦因數(shù)為μ．木板A長為L，在距離A的左端L遠處有一豎直擋板C．現(xiàn)用錘子打擊鉛塊B，使B獲得大小為v₀的水平向左的速度．重力加速度為g，L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$．
（1）求B在A的上表面相對滑動時，A，B的加速度；
（2）求A第一次與擋板C相碰前的速度大��；
（3）若A與C相碰的時間忽略不計，且相碰后A的速度反向，大小不變，求A第二次與C相碰時B距A的左端的距離．

Answer 1

分析 （1）分別對A和B受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求得A和B的加速度；
（2）根據(jù)位移關(guān)系分析A第一次與C碰撞時是否與B區(qū)速，若共速則根據(jù)動量守恒求得碰撞前的速度，若不共速根據(jù)位移時間關(guān)系求得碰撞前的速度；
（3）結(jié)合動量守恒和物體的相對運動求出B在A上滑動的距離．

解答 解：（1）對B分析可知，B在A對B的滑動摩擦力作用下產(chǎn)生加速度，據(jù)牛頓第二定律可知：
B產(chǎn)生的加速度${a}_{B}=\frac{{f}_{B}}{{m}_{B}}=\frac{μ{m}_{B}g}{{m}_{B}}=μg$
以A為研究對象受力分析，水平方向A在B對A的摩擦力作用下產(chǎn)生加速度，據(jù)牛頓第二定律有：
A產(chǎn)生的加速度${a}_{A}=\frac{{f}_{A}}{{m}_{A}}=\frac{μ{m}_{B}g}{{m}_{A}}=2μg$
（2）AB組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，可得當(dāng)AB速度相等時的共同速度滿足：
m_Bv₀+0=（m_A+m_B）v
可得其共同速度$v=\frac{{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{v}_{0}=\frac{2}{3}{v}_{0}$
因為A做初速度為0的勻加速直線運動，根據(jù)速度位移關(guān)系可知，當(dāng)A達到共同速度時，其發(fā)生的位移：
${x}_{A}=\frac{{v}^{2}-0}{2{a}_{A}}=\frac{（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}}{2×2μg}=\frac{{v}_{0}^{2}}{9μg}=\frac{1}{9}L$＜L
所以A第一次與C碰撞前的速度為AB的共同速度，即為$\frac{2{v}_{0}}{3}$；
（3）由（2）可知，當(dāng)AB第一次共速時，B發(fā)生的位移
${x}_{B}=\frac{（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2μg}$=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{18μg}$=$\frac{5}{18}L$
由（2）分析知，B相對于A的位移$△{x}_{1}={x}_{B}-{x}_{A}=\frac{1}{6}L$
當(dāng)A與C碰撞后，A的速度方向立即改變，大小不變，根據(jù)動量守恒AB再次速度相等時有：
m_Bv-m_Av=（m_A+m_B）v′
可得共同速度$v′=\frac{2m•\frac{2{v}_{0}}{3}-m•\frac{2{v}_{0}}{3}}{m+2m}=\frac{2}{9}{v}_{0}$，方向水平向左
B向左減速的位移：${x}_{B}′=\frac{（\frac{2}{9}{v}_{0}）^{2}-（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}}{2×（-μg）}=\frac{16}{81}•\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}=\frac{16}{81}L$
A向右勻減速運動的位移：${x}_{A}′=\frac{（\frac{2}{9}{v}_{0}）^{2}-（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}}{2×2μg}=\frac{8}{81}•\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}=\frac{8}{81}L$
此過程中AB的相對位移$△{x}_{2}={x}_{B}′+{x}_{A}′=\frac{24}{81}L=\frac{8}{27}L$
所以物體在第二次與C碰撞過程中，B相對于A的總位移$△x=△{x}_{1}+△{x}_{2}=\frac{1}{6}L+\frac{8}{27}L=\frac{25}{54}L$
因為A長度為L，所以第二次與C碰撞時，B相對于A左端的距離為L-△x=$\frac{29}{54}L$
答：（1）B在A的上表面相對滑動時，A，B的加速度分別為2μg，μg；
（2）A第一次與擋板C相碰前的速度大小為$\frac{2{v}_{0}}{3}$；
（3）若A與C相碰的時間忽略不計，且相碰后A的速度反向，大小不變，A第二次與C相碰時B距A的左端的距離為$\frac{29}{54}L$．

點評 本題主要從水平方向AB組成的系統(tǒng)動量守恒，求B在A上滑動的總距離也可以從能量守恒的角度分析求解．