Question

如圖所示為“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成的，固定在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓連接而成的，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，彈射裝置將一個(gè)小球從a點(diǎn)水平射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過(guò)軌道后從p點(diǎn)水平拋出，已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計(jì)其他機(jī)械能損失，ab段長(zhǎng)L＝1.25 m，圓的半徑R＝0.2 m，小球質(zhì)量m＝0.01 kg，軌道質(zhì)量為

M＝0.425 kg，g＝10 m/s²，求：

(1)若v₀＝5 m/s，小球從p點(diǎn)拋出后的水平射程；

(2)若v₀＝5 m/s，小球經(jīng)過(guò)軌道的最高點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)小球作用力的大小和方向；

(3)設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)v₀至少為多大時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力可以為零．

 

Answer 1

【答案】

(1) x＝0.8 m(2) F＝0.1 N，方向豎直向下(3) v₀＝10 m/s 

【解析】(1)設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，對(duì)小球由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)的過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)能定理得：

－μmgL－4Rmg＝mv²－mv                      ①       (2分)

小球從p點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，水平射程為x，則

4R＝gt²                                                                        ②       (1分)

x＝vt                                   ③        (1分)

聯(lián)立①②③代入數(shù)據(jù)解得x＝0.8 m                    (1分)

(2)設(shè)在軌道最高點(diǎn)時(shí)管道對(duì)小球的作用力大小為F，取豎直向下為正方向，

有：F＋mg＝m                                   ④        (1分)

聯(lián)立①④代入數(shù)據(jù)解得F＝0.1 N，方向豎直向下．      (1分)

(3)分析可知，要使小球以最小速度v₀運(yùn)動(dòng)，且軌道對(duì)地面的壓力為零，則小球的位置應(yīng)該在“S”形軌道的中間位置，

則有：F′＋mg＝m，F(xiàn)′＝Mg                         (1分)

－μmgL－2mgR＝mv－mv                          (1分)

解得：v₀＝10 m/s                                    (1分)

整個(gè)過(guò)程中摩擦力做功和重力做功，可根據(jù)動(dòng)能定理－μmgL－4Rmg＝mv²－mv，小球拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得。弄清楚小球在最高點(diǎn)向心力來(lái)源是求管道對(duì)小球作用力的關(guān)鍵，要使小球以最小速度v₀運(yùn)動(dòng)，且軌道對(duì)地面的壓力為零，則小球的位置應(yīng)該在“S”形軌道的中間位置，