Question

16．質(zhì)量分別為2m和m的滑塊1和滑塊2通過一根細(xì)線拴接在壓縮的彈簧兩端，某一刻細(xì)線剪斷后滑塊1沿水平面向左運(yùn)動(dòng)，滑塊2向右從斜面底端開始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，忽略滑塊2沿斜面向上運(yùn)動(dòng)前的速度大小變化，當(dāng)斜面傾角θ=$\frac{π}{6}$時(shí)，滑塊1和滑塊2滑行的最大距離之比為$\sqrt{3}$：4，當(dāng)傾斜角度變化時(shí)，滑塊沿斜面滑行的最大距離也會(huì)隨之變化．重力加速度為g，水平部分和斜面部分動(dòng)摩擦因數(shù)相同．
（1）滑塊和斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）假設(shè)滑塊2的初速度為v₀，當(dāng)斜面傾角為多大時(shí)，滑塊滑行的最大距離最小，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)于細(xì)線剪斷后彈簧彈開兩滑塊的過程，由于系統(tǒng)的合外力為零，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．由動(dòng)量守恒定律求得兩個(gè)滑塊獲得的速度大小之比．對(duì)滑塊1和滑塊2滑行的過程，分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式，即可求得滑塊和斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）對(duì)滑塊2在斜面上上滑的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求滑塊滑行距離的最小值．

解答 解：（1）設(shè)細(xì)線剪斷后滑塊1和滑塊2的速度大小分別為v₁和v₂．取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
    2mv₁-mv₂=0
解得 v₁：v₂=1：2
對(duì)滑塊1和滑塊2滑行的過程，分別由動(dòng)能定理得：
-μ•2mgs₁=0-$\frac{1}{2}$×2mv₁²．
-（mgsinθ+μmgcosθ）s₂=0-$\frac{1}{2}$mv₂²．
據(jù)題有 s₁：s₂=$\sqrt{3}$：4．
聯(lián)立解得 μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）對(duì)滑塊2在斜面上上滑的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得：
-（mgsinθ+μmgcosθ）s=0-$\frac{1}{2}$mv₀²．
得 s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
其中 tanα=μ，則得 α=30°
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：當(dāng)θ+α=90°，即θ=60°時(shí)滑塊滑行的最大距離最小，最小值是 s_min=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$
答：
（1）滑塊和斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）假設(shè)滑塊2的初速度為v₀，當(dāng)斜面傾角為60°時(shí)，滑塊滑行的最大距離最小，最小值是$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要知道涉及力在空間上積累時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理研究物體滑行的距離，采用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求滑塊滑行距離的最小值．